Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.
Скачать (прямая ссылка):
удовлетворяются "тауберовы условия". Однако мы покажем, что оценка,
полученная в конце § 335, гарантирует выполнение этих условий.
§ 338. Прежде всего, умножая (13), где h = const, на 7'А, полагая Т!й -0
и используя (162), увидим, что нижний предел
Если мы покажем, что верхний предел lim ^ р0, то, поскольку (182)
эквивалентно (18,), эти формулы будут доказаны. Положим далее F = 7", так
что
найденную в конце § 335, и выражая V и 7" как функции F = J'3
р0 - lim 77*7",
№
lim ПГ > р0.
F" = 677"* + 37,27"'.
Используя оценку
|7'"|< const{Г)\
312 ГЛАВА V. ЗАДАЧА МНОГИХ ТЕЛ
и F' = 3JnJ", увидим, что
Fn -X-\F'\4'
1^1 < const
Следовательно, из (17г), где V = F'!\ следует, что
Fn + \p'\4,
|F"|< const - (19)
при t -*¦ f°.
Наконец, если vo - положительная постоянная, равная 12(Хо2, то
Vo(t-t°), (20i)
lim-F' vo (20з)
при t -*¦1°. Действительно, так как F = Jn, то (20i) эквивалентно (17г).
В то же время неравенство (20г) представляет собой в силу формул vo =
12цо2, F == ]п, F' - 3JnJ" и (162) другую форму записи неравенства lim
/У" ^ [Хо, доказанного выше. Неравенство
же lim J'hJ" < [Хо, которое остается доказать, может быть записано
аналогичным образом в виде lim F' ^ vo. Таким образом, надо доказать, что
оценки (20i) - (202) совместно с "тауберовым" условием (19) приводят к
неравенству lim F' ^ v0 (но тогда мы и получим, что F' -*¦ vo, что и
подтверждает законность формального дифференцирования (20i)).
§ 338а. Переходя к доказательству неравенства lim F' ^ vo, предположим,
что имеет место противоположное неравенство lim F' > vo. Из этого
неравенства и из (20г) сразу следует тогда существование
последовательности интервалов
. t]<t<t? tl<t<th, ...,
стремящихся при к -*¦ оо к *) так, что
О < vo < а = F'(tl) < F'(t) < F'(tf) = р (?!)
при th1 ¦< t < <ьп, причем аир - некоторые фиксированные числа,
расположенные между пределами lim F', lim F'(^ -f- оо) непрерывной
функции F' (t).
Очевидно, можно предположить, что i° совпадает с началом отсчета t = 0.
Тогда, полагая
Const = const (Р2 -f- ps/*),
*> То есть оба конца интервала i*1, t*11 стремятся к i° при к-* оо.
§§ 333-339. ОДНОВРЕМЕННЫЕ СТОЛКНОВЕНИЯ
увидим, что в силу (19) и (21)
313
,1^(0 к
const
при любом t в каком-либо интервале tk1 < t < thu. Так как t стремится к
?° = 0, возрастая или убывая (см. примечание в § 335), то все tk1 и tk11
расположены по одну сторону от ?° = 0. Следовательно, интегрируя
неравенство (21) в пределах от tk1 до i*n, получим, что
|^'(*Д) - F'(th) | < constlg
tl1
Так как разность F' (tku) -F'(t?) равна в силу (21) положительной
постоянной |3 - а, то lg | f*11 / tk11 превосходит при к -оо некоторое
положительное число. Другими словами, существует такое положительное X,
что при к оо
К
п,
Далее, в силу (20i)
1^)1
I'll
->Vo,
> Х> 1.
(22)
\F(?)\
I'll
->Vo,
так как th1 1°, tk11 -> t°, t° = 0, Vo > 0. Кроме того,
№°)
I'll I'll
l'"l
I'll И'11)!
> a
I'*
U1
I h
если к достаточно велико. Действительно, все tk1, tkn расположены по одну
сторону от t°, так что
|||?М*11"Ьп-*2.
поскольку tk1 ¦< thn. Кроме того, поскольку tk1 -> <°, thn ?°, то из (20)
видно, что если к достаточно велико, то все Ffa1), F(tkn) имеют один и
тот же знак. Следовательно, неравенство (23), которое можно записать,
очевидно, в виде
||^Л'")1Н*(*й)М>"11'?1-1'?||.
зквивалентно неравенству
|F(iil) -F(fJ) |> сц[ 1 - ?& |.
314
ГЛАВА V. ЗАДАЧА МНОГИХ ТЕЛ
Однако справедливость последнего неравенства очевидна, так как F'(t) > а
> 0 при tfj < t < tk11 в силу (21), что и доказывает (23).
Полагая А->- оо в (23) и используя (22), где vo > 0, получим неравенство
vo| к - vovo 11 ^ а | к - 11.
Однако
I к - VoVo 1 | = к - 1 > О
в силу (22), так что v0 ^ а. В то же время а > v0 в силу (21), и мы
пришли таким образом к противоречию. Следовательно, предположение о том,
что lim F' > v0, сделанное в конце § 338, неверное. Отсюда и вытекает
справедливость (184) - (18г).
§ 339. Следует упомянуть, что ни одно решение (3) уравнений (10 не может
быть таким, что оно соответствует одновременному столкновению при ?-v-f-
oo или при t --оо. Другими словами, при ?-"-± оо кинетический момент / не
может стремиться к нулю. Конечно, доказательство, приведенное в § 335,
того факта, что если /->-0, то 7"->-+оо остается справедливым и при ?->-
±оо, а не только при ?-v.?° =f= ±оо.
Однако если /"-v-f-oo при ?->-?°, причем ?° = ±°°, то двукратное
интегрирование показывает, что J -*¦ +оо. Таким образом, предположение о
том, что 7 -0, приводит к противоречию.
ГЕЛИОЦЕНТРИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ
§ 340. Так как в барицентрической системе координат ? соотношение =
0 удовлетворяется тождественно, то задача с 3га
степенями свободы, в которой рассматриваются Зга векторов |,- = = |i (t),
может быть сведена к задаче с 3 (га - 1) степенями свободы. При этом
будут рассматриваться лишь га - 1 из га векторов |i, например |i,..., |n-
i, или же, точнее говоря, га - 1 разностей
х{ = 1г - |", i = 1, ..., re - 1. (1)
