Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.
Скачать (прямая ссылка):
координаты которой определяются вектором ?г. Аналогичным образом будем
обозначать через ? не только координатную систему, но также и
координатный вектор точки в 3-мерном евклидовом пространстве g. Наконец,
через ?т, gn, g(tm) будем обозначать компоненты вектора ?, параллельные
координатным осям.
§ 314. Обозначая через в X v -- в X в векторное произведение двух 3-
векторов в, в, через u-v = v-u - их скалярное произведение и, наконец,
через в2 - квадрат в-и длины |в| вектора в, положим
(20
(20
(20
/ = 2
где ' скаляры
L=T + U,.
Т, U определяются формулами
(30
р"
pjA = ! I,
(30
(Зз)
284
ГЛАВА V. ЗАДАЧА МНОГИХ ТЕЛ
нричем
2 = 2. (4i)
2=2 (4.)
3-вектор (2i) называется кинетическим моментом системы, а скаляр (22) -
полярным моментом инерции системы. Заметим, что массы пц суть постоянные
скаляры, a |iz - квадрат расстояния |?i | между m,i и началом
координат ? = 0. Формула (Зз)
дает расстояние р3ъ между пц и т*. Координатный вектор центра
масс равен
fi-1 2
где р, = 2/те* - полная масса системы.
Если мы выберем основные единицы так, чтобы постоянная притяжения х была
равна единице, то из (2з) - (4г) видно, что уравнения (1) можно записать
в виде
и..., In) (5)
или
[?]*.= 0, i=l,..., п, (5а)
гДе [ 1Е j обозначает лагранжеву производную по отношению к 3-вектору
Таким образом, уравнения (1) описывают консервативную динамическую
систему с Зге степенями свободы, являющуюся в силу (23) -(32) обратимой
(см. § 156). Условие (2t)
§ 155 удовлетворяется, так как Т = - 2 m&f есть диагональ-
2
ная форма с положительными диагональными элементами mlt mu mi, пгп, mn,
mn. Соответственно из (10) - (113) § 158 имеем
(61)
(62)
Т = (63)
i = 1,.... re,
где T]j обозначает 3-вектор, компоненты которого суть импульсы,
канонически сопряженные с компонентами координатного 3-вектора h (t = 1,
..., re).
§§ 313-321. ЗАКОН ПРИТЯЖЕНИЯ НЬЮТОНА 285
§ 315. Левая часть (14) § 159 сводится к
( S
и равна Уг/" согласно (22) § 314. Вместе с тем правая часть (14) § 159
сводится к (15i) § 159, так как Т не зависит от координат (является,
следовательно, их однородной функцией степени
а = 0). Наконец, формулы (Зг) - (Зз) § 314 показывают, что U - однородная
функция степени -1, так что (15з) § 159 сводится к (152) § 159 с р = -1.
Таким образом, У27" = (-1 + 2) V + 2h, т. с.
J" = 2U + 4й, (70
T-U = h, (72)
причем (72) можно рассматривать как определение постоянной h в формуле
(74), т. е. постоянной энергии для данного решения
= i = l, ...,га. (8)
§ 315а. Поскольку Р = -1, то на основании изложенного в § 160 приходим
также к тому результату, что если gi = gi (t) - какое-либо решение
уравнений (5), то функция
где X - любая положительная постоянная, также является реше нием этих
же уравнений. Отсюда вытекает, в частности (см.
§ 160а), что период для семейства периодических решений уравнений (5)
пропорционален |й|-,/г, если решения этого семейства имеют непрерывную
частную производную по h.
§ 316. ^Заменим систему координат g § 313 другой системой координат g,
получающейся из первой путем ее поворота на некоторый угол вокруг начала,
так что
li = Qb, (80
где Q - ортогональная 3-матрица, не зависящая от t и i, определитель
которой равен +1. Очевидно, что
|/2=?* |ii_ ift| = |ii~ift|-
Поэтому из (3i) - (З3) вытекает, что функция Лагранжа (23) инвариантна по
отношению к преобразованию gi = Qgj. Следовательно, если заменить Q на Q
(е), причем е - скалярный параметр, не зависящий от t, Q (0) - единичная
матрица, а матрица
286
ГЛАВА V. ЗАДАЧА МНОГИХ ТЕЛ
Я (е) ортогональна и имеет при е = 0 не обращающуюся в нуль производную
ЯЕ(е), то в соответствии с (8) § 96 функция
SxEjQE(0)ii (82)
будет интегралом уравнений (5) § 314.
Рассмотрим, в частности, семейство вращений Я - Я(е), определяемое
согласно (182) § 77, если положить в этой формуле dv - e6v, причем б±,
62, 63 - произвольные фиксированные скаляры. Тогда производная ЯЕ(0)
равна, очевидно, сумме трех матриц 6v/v. Подставляя эту сумму в интеграл
(9i) и полагая последовательно (61,62,63) = (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1),
получим три интеграла
2 Ц-АЬ, v= 1д2,3.
Однако, как нетрудно проверить, кососимметрические матрицы 7V,
определенные в § 77, обладают тем свойством, что если А, В- 3-векторы, то
скалярные произведения В -/VA будут компонентами векторного произведения
А X В. Следовательно, три компонента вектора
2| Ei X L4
представят собой интегралы уравнений (5). Выразив Lсогласно (61), можно
утверждать, что для любого решения (8) уравнений (5) существует
постоянный вектор С такой, что
S т& X Ei = С. (9)
Другими словами, кинетический момент (2i) остается вдоль любого решения
(8) постоянным, что дает нам три скалярных интеграла уравнений (5).
§ 317. Заменим координатную систему | § 313 другой координатной системой
J, получаемой из первой путем параллельного переноса, так что = I,- -j-
Ъ, где b - 3-вектор, не зависящий от t и L Очевидно, что
1Г=Е* \h-Tk\ = ]Ej-Ek|.
Тогда из (3f) - (Зг) следует, что функция (2з) инвариантна по отношению к
