Теория оптических приборов - Тудоровский А.И.
Скачать (прямая ссылка):
п'- sin2 f/'AS' = n2sin2 ?/А&
Если обозначить какие-нибудь линейные отрезки на сопряженных, элементах площадей A.S и \S буквами I и Г, то вследствие подобия сопряженных фигур AS и A.S7 можно написать:
±S': bS—l^il1.
ЮЗ. Освещенность в пространстве изображении
315
Исключая на основании этой пропорции из предыдущего уравнения, Л S и Л S' и извлекая корни из обеих частей равенства, приходим к следующему уравнению:
n'l' sin U'~nlsin U, (102, 2)
т. е. произведение из показателя преломления среды, длины отрезка прямой линии, перпендикулярной оси системы, и синуса угла, образуемого с осью каким-нибудь лучом из точки пересечения отрезка с этой осью, остается инвариантным дли обоих пространств предметов и изображений, если система дает совершенное изображение небольшой части плоскости, перпендикулярной оси. Это положение носит название закона синусов и установлено Аббе; оно является необходимым условием существования совершенного изображения малого участка плоскости, близкого к оптической оси, пучками в телесном угле с конечным отверстием (U — величина большая в противоположность углам параксиальной области).
Сопоставляя уравнение (102,2) с уравнением (81,7), мы видил:. что закон синусов, полученный из рассмотрения реальной оптической системы, дающей совершенное а ограниченном смысле ,'для л;алых участкам плоскости) изображение, противоречит уравнению (81,7), установленному в теории идеальной оптической системы; при малых апертурных углах U оба уравнения совпадают с теоремой Лагранжи—Гельмгольца, так как в этом последнем случае синусы углоа, тангенсы их я дугу не отличаются между собою.
Закон синусов может быть получен совершенно независимо от энергетических (фотометрических) соображений, как это будет показано впоследствии.
§ 103. Освещенность в пространстве изображений; апертуры входного и выходного зрачкоз
Ниже в § 183 будет показано, что изображение светящейся точки на оса системы даже в случае вполне совершенной системы является светлым пятном малых размеров со сложным распределением бсвещеч-ностей в пределах этого пятна; центр пягна имеет наибольшую освещенность; она падает к краям светлого центрального кружка до нуля: далез следует ряд темных и светлых колец с постепенно убывающей освещенностью. Для точек вне оси системы светлые пятна, называемые изображениями точек, имеют более сложную форму; если система имеет аберрации, эти пятна могут иметь иногда очень сложное строение, но всегда освещенность в некоторой области пятна имеет наибольшее значение, убывает к краям пятна, падая до нуля или почти до нуля и снова переходя через более или менее слабые максимумы.
Изображение площади конечных размеров является результг.том наложения изображений отдельных точек, т. е. светлых пятен с неравномерным периодическим распределением освещенностей в каждом пятне. Поэтому изображение равномерно освещенной площади или площади с непрерывно изменяющимися освещенностями имеет также равномерную или непрерывно изменяющуюся освещенность. Освещенность в какой-нибудь точке изображения, достаточно удаленной от краевого контура площади, равиа сумме наибольшей освещенности пятна — изображения сопряженной точки — и освещенностей точек, налагающихся в той же
346
Глава IX. Ограничение пучков в оптических системах
точке и принадлежащих различным пятнам —изображениям соседних точек. Для вычисления освещенности Е в какой-нибудь точке изображения площади конечных размеров нужно найти предел отношения светового потока dF't вышедшего из элемента dS изображаемой площади и прошедшего через систему, к площади dS1 изображения этого элемента, т. е.
AV>
р-----
с dS'
В предыдущем параграфе были даны формулы для вычисления полного элементарного светового потока, выходящего из оптической системы и проходящего через элемент dS' площади изображения, в случае кругового сечения пучка лучей плоскостью выходного зрачка. Пользуясь формулой (101,3), для освещенности Е0' в точке на оси находим:
<р=2г /—/Л
Ео~ j* с/<р J" В'sin'z’cosi’di', (103,1)
<р=о »' о
U' — половина апертурного урла в пространстве изображений оптической системы. Яркость В' изображения определяется формулой (101,1); осли яркость не зависит от направления, то применяем формулу (101,4) и находим:
(103,2)
Согласно формуле (101,8) для освещенности Е' в точке, не лежащей на оси системы, имеем:
Е'=--ъВ'ът*±А. (103,3)
Вводим величину В0, определив ее формулой:
(103,4)
Эту величину можно назвать приведенной яркостью пучка в среде
с показателем преломления п'. Согласно формуле (101,1) имеем:
<103’5>
Подставляем в формулу (103,2) вместо яркости Вг ее значение из формулы (103,4); тогда
?0' = ~В0 nn sin2 ?/'. (103,6)
Произведение из показателя преломления среды и синуса половины апертурного угла IF в пространстве изображений Аббе назвал числовой или численной апертурой со стороны изображения; правильнее называть это произведение апертурным числом в пространстве изображений. Назовем его буквой А\ тогда яркость Е0' изображения в точке на оси выразиться формулой:
где
Е0' = ъВ0А ', | A^n'sbnU1.}
