Относительность. Термодинамика и космология - Толмен Р.
Скачать (прямая ссылка):
После всего вышесказанного, по-видимому, не имеет смысла обсуждать,
каковы должны быть строгие - явно нереальные --условия, при которых
изменения объема с конечной скоростью могут происходить полностью
обратимо. Важнее подчеркнуть тот факт, что в наших космологических
моделях отсутствуют необратимые потоки тепла, трение и градиенты
давления, которые являются настолько обычными источниками необратимости в
термодинамических процессах, что мы даже забываем, насколько именно их
присутствие важнее для необратимости, нежели сама по себе конечная
скорость процессов*).
§ 172. Невозможность периодических движений без сингулярных состояний
После того, как мы рассмотрели примеры тех закрытых космологических
моделей, радиус которых осциллирует термодинамически обратимо между
минимальным значением, отвечающим сингулярному состоянию, и конечным
максимумом, следует еще выяснить, не возможна ли чисто осцнлляторная
эволюция, когда объем любого элемента жидкости периодически меняется
между конечным максимальным и несингулярным минимальным значениями. Это
были бы периодические колебания второго рода, типа 02, и они, как было
уже показано в § 157, д, не лишены правдоподобности. Однако теперь мы
можем показать, что если заключенной в модели жидкости приписать разумные
свойства, то никакие точно периодические движения подобного рода
невозможны [106], и, более того, даже непериодические колебания
указанного типа тоже невозможны.
Вспоминая, что зависимость интервала (166.1) от времени для
рассматриваемых моделей определяется величиной g(t), запишем условия
периодичности колебаний модели между
*) Этот и более сложный пример обратимого поведения с конечной скО'
ростыо можно найти у Толмена [111, 112].
444
Гл. X. космология
конечными максимумом и минимумом в следующем виде:
?i<&2- gi=g2 = 0, g 1>0, g2< 0, (172.1)
где точки означают дифференцирование по времени, а индексы 1 и 2
указывают, что соответствующие величины относятся к минимуму и максимуму
соответственно. Эти выражения совместно с выражениями для собственной
плотности и давления жидкости в модели
8др00 = е~% + 4- g1 - А
Го° Rl (172.2)
позволяют установить, какими свойствами должна обладать жидкость, чтобы
были возможны постулированные минимум и максимум. Так как мы хотим
исследовать одновременно и открытые и закрытые модели, то следует
рассмотреть три случая: Rо>0, Я§=00 и Rl <0, соответствующие закрытым,
плоским открытым и искривленным открытым моделям соответственно.
Для случая Rl >0 из предыдущего легко получается, что давление и
плотность в точках минимума и максимума должны подчиняться соотношениям
pi>P2, Pi<Cp2- (172.3)
Только при выполнении (172.3) возможны колебания рассматриваемого типа;
но эти неравенства означают, что плотность жидкости должна уменьшиться в
отношении e3;'!gi к е3'2(r)2 после возрастания объема от минимального
значения к максимальному. Давление же при этом должно возрасти, в
согласии с тем необходимым условием возникновения осцилляций типа 02 в
закрытых моделях с положительным давлением, которое было найдено в § 157,
д.
Однако ясно, что для осуществления строго периодических колебаний между
каким-либо минимумом и максимумом поведение каждого элемента жидкости
должно быть термодинамически обратимым, так как иначе система не смогла
бы снова и снова возвращаться в одно и то же состояние. Следовательно, в
свете всего вышесказанного очевидно, что если мы не будем рассматривать
жидкостей с нереальными свойствами, в которых давление при обратимом
адиабатическом расширении возрастает, то строго периодические колебания
нужно будет из рассмотрения исключить.
§ 173. ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ОБРАТИМОГО РАСШИРЕНИЯ
445
Если колебания не строго периодические, а происходят всего один или
несколько раз между минимумами и максимумами, которые в свою очередь не
обязательно неизменны, то требование термодинамической обратимости может
быть отброшено. Подобного рода осцилляции могли бы оказаться совместимыми
с вышеприведенными условиями, если бы, например, при расширении
происходило резкое необратимое увеличение количества излучения так, чтобы
в максимуме давление было достаточно высокое и могло бы привести к
обращению движения. Тем не менее трудно себе представить, что давление
затем при сжатии может снова упасть до такой величины, которая необходима
для достижения второго минимума.
Для случая Ro =оо, к которому мы теперь обратимся, учет
(172.1) и (172.2) приводит к равенству
Pi = P2, (172.4)
а для случая /?о <0 необходимое условие для осцилляций рассматриваемого
типа принимает вид
Р1<р2. (172.5)
Однако из уравнения для энергии (151.6) следует, что приращение плотности
при изменении g равно
Фоо = - y (Роо + Ро) dg. (172.6)
Поэтому вышеприведенные условия могли бы выполняться толь-
ко в неизвестной нам жидкости, в которой отрицательное давление может
достигать величины, равной плотности ее энергии.
С учетом всего только что сказанного ясно, что, во всяком случае на
