Теория нелинейных решеток - Тода М.
Скачать (прямая ссылка):
периодичеоких оиотем, как будет показано в гл. 4, нельзя говорить об
асимптотическом поведении на бесконечности; вместо этого мы будем
использовать дополнительный спектр для решения начальной задачи с
распространении волн в цепочке. Таким образом, эти методы скорее
составляют обратную спектральную теорию (ОСТ), чем метод обратной задачи
рассеяния.
Если мы полежим
г . (з.гн)
х 1-------------->
то (3.2.3) примет вид
72
ап-1 * ('п-^ч'^-п.Ч,(''>г^а"п- (z+2~J)vf-n).
(3.2.16)
Когда на бесконечности движение отсутствует, решение с асимптотическим
поведением (3.2.8), или
, , TL (Lit. - % ~ ^
Ч>('П-)->2 е , -ао=---, (3.2.17)
для 7z 1 можно представить как
у(ъ) =ф(п,г)е Lui, (3.2.U)
где
ф(-п,2) = 2-, КЫ'Тг')*"-
(3. 2. 19)
Коэффициент К&>,г>')пе зависит от г, но ап и 4 зависят от t и,
следовательно,)((п.,п).также зависит от L .
Доказательство. На больших раоотояниях тг как следует из (3.2.8),^(п^)-
?71, (К(п,п ')-о, л^.Таким образом, (3.2.18)
выполняетоя для доотаточно больших -гь . Предположим, что оно выполняется
для it и п+1. Тогда из (3.2.16) мы получим ч> (71-1,2) и определим К(п-1,
тг') для п'^'П-±.
ПодотавляЯ (3.2.18, 19) в (3.2.16) и приравнивая друг другу при г "1.. гп
г"*1, ... , получаем
^ (n-i,n-i) = d-jl(rz,n.)>
^}((п-1, (n,'*t) = ~2^ ('п>
а^К fa-*, nti) = (пГГП'П*1} =
| =J_ [К(21}п)+К (n,n + 2)]? (11и)
Л^лк(п-й7п *1)+лпК(п+*>п+2И"Х(*г,п',2)=
Л (*, К(п,п + Ъ)]
--¦¦••¦у )+а, ^(п^т)з4.пК(п,пзп,)=
л".лХ("¦-*,п*(tm)), ")7
[Л[Х(п -п^1)зЗ(Ы,7г^1)\
73
Эту систему можно разрешить относительно & п_л , 4 . Из первых двух
уравнений имеем
К (п, п)
4..
п-л 2К(п-1,п-л)
п или
&п~'
2К (п.п) X (п,п+и)
¦а
п~* К (71,1%) ?
X (n-i, п) 2K(n-d, n-i)
(3 7.11)
(3.2. 22)
2Х (7Z., п)
Остальные уравнения системы (3.2.20) таковы, что К(т> т) с ростом 7П
будут удовлетворять им по очереди.
Уравнения (3.2.21) и (3.1.2) дают нам
• (&п~
К ( П, -ПА
К (n-it п-l)
(3-2.23)
Далее. Тп= ^ri-i ~п- ^см" и (3.2.22) дает
X (п,п+1)
а,м>
с точностью до аддитивной постоянной. Из (2.2.14) подучим
- 1
п
(3.7.2S-)
3.3. РАССЕЯНИЕ И СВЯЗАННЫЕ СОСТОЯНИЯ [3.4, б]
Так как (3.2.16) - дифференциальное уравнение второго порядка, его общее
решение можно представить в виде линейной комбинации двух фундаментальных
решений. В качестве фундаментальных решений мы выбираем две функции ф(п>
ъ) и асимптотичес-
ким поведением:
74
Jф(п,г)-*гп'
j<t>(n,Z'J) *Z ^ (ft---
[множитель eocp (-Lut) в (3.2.18) мы опустили). Аналогично имеем решения
(3.2.16) вшда
+(71,1.)-> г71' (п~*-°°)}
< (3.3.2)
рп,ц-±)->г"' (ft-*-°~).
Запишем их через фундаментальные решения:
f(fг, г) (2)ф (п, г-л)+/з(*)<?Сп; г;
(3. i. з)
>+(п,Г*) =4(*'Л)Ф (TL' )фСтг,г'1).
Так как <2^ и в (3.2.16) зависят от времени, 2 и р также имеют временную
завиоимооть. Обращая (3.3.3), запишем
'Ф(п-,2) = Л (г)/ (z)f (ть, г),
(3. J. 9)
\ф(п>1-:1)=2 (г-*)фСп,2)+/з(*.-*)* fa,*'*).
Следовательно, условия оовмеотнооти имеют вид
1Л(г)2(г-л)+р(г)?Сг)-1,
oL(Z)/}(Z S)+/3(Z)J. С2) 0у (3. 3. Set)
U(t1)X(2)t/3(Z-J)/3(2~:l)=i)
L (z'a)p(x)3p(z-1)^(^V =0f (j (t)JL(Z-*)+fi (2)/3(2) =
1 ZWpfZ-1)*? (*)и(*) =(> (3-i.Scf)
\l(t-j:)Ji(2)^(2'1)j3
\1(г-*)р(г)+Р (z-J)u{*~*) = 0.
75
Эти условия удовлетворяются, если положить
' Jl (!) = <!. (1), Р(2) = ~Р(*~Л),
' ?(*¦)?(*-*).
Кроме того, р (7~1) = ~Р (Z) и т>(1.
При I 11 - I
(з. 3. 6 а)
Ij.C?)!'1 = i + 1р(2)Г-
(3.3.6(f)
Определим "функцию рассеяния" выражением
где
С 3.3./)
3 ( -п , х ) является реиениеи (Б.2,16) с асимптотическим поведением
(& (71. ?.) -> 1'п * К (t) z ^ Ы -> + °°)}
(з. i.
Этот результат можно интерпретировать следующим образом: имеется исходная
волна единичной амплитуда tn~e<zf>(~Lk'n,) , рас-прострашшцаяся влево,
отраженная волна R(z)xn , распространяющаяся вправо, и прошедшая волна
Z~n/J- 6%), которая движется влево./? (Z) есть амшштуда коэффициента
отражения, a амшштуда коэффициента прохождения; соотношение (З.Злбб) дает
закон сохранения волн
U(i)l
Рассмотрим коэффициент прохождения, чтобы определить его связь со
связанными оостояниши. Сначала найдем "/. (7), исключая р (7) из
уравнений
(П ) ,
76
Цп,%)=ис^)ф(п} *':1)+р(г)ф(п.) I)f
(3. 3.11)
+ (n+l>Z) = J*(Z)<t>(-n-H, l^bpcztyc-n-n, 31); получим
cL(Z) = [f (n} 3t)<f>(nti, Ъ)-ф(п+1, %)ф(п, 1)]/У(п)>
C3, 3.12)
где
У fa)=ф('п)г'х)ф(n+i} 1)-ф(-п^1у %-1)ф(п,%.).
(З-З-13 а.)
Последнее соотношение перепишем в виде
у(пь) Ъ-*)[ф(п*4, *)-ф(п, Ъ)]-[ф(п*л> z~x)~
-ф(ъ,2':')]фГъ,2). (3. 3.13d)
Очевидно, что У(п) представляет ообой дискретный аналог вронскиана
функцийфЫ, Z~J) и ф('п,г). Исходя из общих свойств вронскианов, можно
предположить, что VY"J или не зависит от п-, или имеет простую
зависимость от п . Чтобы проверить это утверждение, исключим ?п из
уравнений
0'ъ.1+('п'~1'г~л)+а'"'Ф(п+1>2'*)+4п4,('п =
, S w-_n
= -j- ф(-п,г *), (l s tf,
la-"Ф(n'*, *)* a n Ф (n >1 < *)* 4-n 1 <n- г> = Щ~Ф In, r);
получим
У ('K-l)&"n-i~M (к)61 п.- (3.3.1 Г)
Таким образом,
У(ть) = -- У (n+i) = у(п+г)=- ¦ - - у (л-)
