Теория нелинейных решеток - Тода М.
Скачать (прямая ссылка):
цепочки. Однако к таким образом обобщенной системе механическая
интерпретация в общем случае непрядожяиа. Например,, если предположить,
что ивдуктивнооти, так же как и конденсаторы, нелинейны с зависимостями
(2.8.6)
(С, if0, L, ic - постоянные), то из (2.8.1) оледует [2.8]
(2.g. 1)
at
-7171 у
55
где величины ь, и и сделаны безразмерными посредством масштабных
преобразований
ш.г,
ЛГ t'i, " '
I = JliC it / <'с О.г.э)
есть постоянная.
Если 2=1, (2.8.7) не изиеняются, когда 1п и Vn меняется местами, и в
таком смысле это взаимно дуальная система. Если 1 =->i, (2.8.7) сводится
к цепочке с экспоненциальным взаимодействием.
В общем, прм замене Ь и *п, на -t и -/*, (2.8.7) изменяется. Это
означает, что для конечных 2 распространение волн направо отлично от
распространения волн налево. Даже в этом случае имеется многосолитонные
решения [2.3J.
Нелинейные цепочки могут служить моделью дога описания таких нелинейных
явлений, как распространение волн в системе нервов, химические реакции и
некоторые экодогичеокие системы Г 2.9.7. Например, имеется известное
уравнение Всльтерра для экологических систем
л',-л; (г*я,
at J
где J-i и Pi - постоянные S О ). Как простейший слу-
чай рассмотрим цепочку реакций, описываемую уравнениями
j
СЦ ^ть ^пи (7t= ..., ot i, 2,...). (З.г.и)
Имеется устойчивое ранение, характеризуемое условиями
/Г =¦ CO-ruit, И = cornt. Если положить
*2п-1 (пК
_ (2. г 12)
*2П = ^ + n* <п>'
56
то подучится система уравнений [2.8]
of Г-
- 6ъ[/Гл +7гл (го)]= пг (fi-±)-7^z (-п),
которая имеет тот же-вид, что и (2.8.7). Можно интерпретировать
(2.8.11) как экологическую систему, в которой п -й вид увеличивается,
поедая й вид, и уменьшается, поедаемый (я.+1)-и
видом. Если принять эту интерпретацию, она поможет понять тот факт, что
волновое распространение направо отлично, например по скорости, от
волнового распространения налево.
Задача. 2.16. Рассмотрите нелинейное волновое уравнение, которое
получается из (2.8.1) в предположении о линейности конденсаторов и
нелинейности индуктивностей вида (2.8.6).
2.9. ОТОБРАЖЕНИЕ ПУАНКАРЕ
В разд. 1.2 обсуждалось поведение нелинейной циклической цепочки,
состоящей из трех частиц. Как показано Фордом, циклическая цепочка из
трех частиц с кубической нелинейностью в потенциале взаимодействия
эквивалентна системе Хенона-Хейлеоа, и методом отображения Пуанкаре было
показано, что траектории в фазовом пространстве становятся, по-видимому,
стохастическими, когда энергия достигает определенного критического
значения.
Саито[2.5] применил метод отображения к цепочке с экспоненциальным
взаимодейотвием, составленной из двух подвижных частиц о закрепленными
концами, и нашел, что траектории не становятся неустойчивыми, даже когда
энергия возрастает до предельно больших величин. Форд [2.I0J детально
исследовал отображение для циклической цепочки из трех частиц с
экспоненциальным взаимодействием и получил похоаже результаты, которые
будут списаны далее.
Гамильтониан для циклической цепочки из трех частиц с экспоненциальным
взаимодействием можно записать в безразмерной форле
-(bs-Oj) ~(в3-а2)
, ^ • " j -г.
1-е + е - 3.
(2.Э.1)
Если линеаризовать его в случае малых амплитуд, долучитоя (I.2.I).
57
Беря ияиицяиий нелинейный член, получим параметр нелинейности из (2.2.4)
о?.г= -1/2, поскольку в (2.9.1) 4=1. Применим преоб-
разование (1.2.2), которое диагонализует соответствующую гармоническую
цепочку. Тогда с помощью изменения масштабов
(2. 9. 2)
Х± 2-^fi ,
получаем уравнения движения
^ = (-е + е J,
h = Xe Гг{& "e /
Соответствующая энергия есть
Г 4 f 1 n, 1 {*+i+2'fTl4+ /'I'z-Z'Hl'i -***)-
?=т (r^rj+ni* . *'2
T ' 12. 3. 9)
(2. 3. i)
Воспользуемся для отображения поверхностью сечения ('T'z Яг )" проходящей
через fх - 0 в четырехмерном фазовом пространстве, и нанесем на график
точки, в которых траектории пересекают поверхность в положительном
направлении {*рх -= 0). Тогда получается отображение, показанное на рис.
2.10,а ( ? = 1) и на рис. 2.10,6 ( ? = 256).
Форд исследовал отображения вплоть до ? = 56 ООО и всегда получал гладкие
кривые на {fz'Pz )-плоскости без признаков стохастического поведения. Это
показывает, что траектории лежат на гладких поверхностях, в данном случае
расстояние (1.2.9) в фазовом пространстве имело в среднем линейную
временную зависимость. То же самое было показано для циклической цепочки
из шести чаотиц с экспоненциальным взаимодействием. Таким образом,
вычислительная работа прямо указывала, что цепочка с экопоненциальным
взаи-иодействием интегрируема. Другими словами, она допускает так
называемый третий интеграл помимо интегралов импульса и энергии.
58
Ре
Яг
¦Яг
Е-256
а 6
Рис. 2.10. Поверхность сечения для гамильтониана (2.9.4) [2.Ю].
2.10. СОХРАНЯЮЩИЕСЯ ВЕЛИЧИНЫ
Побуждаемые вычислительной работой Форда Хенон и Флэша незавиоимо
аналитически показали интегрируемость цепочки с экспоненциальным
взаимодействием. Метод Флашки обсуждается в следующей главе. Познакомимся
