Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.
Скачать (прямая ссылка):
имеем
(r)тп= j j Qs[nd^s[n-^Y-dxdy. (к)
* Подробное обсуждение этого вопроса можно найти в гл. 9 кн. Релея. См.
Rayleigh J. W. S. The theory of sound. Vol. 1. 2nd ed. New York: Dover
Publication, 1945, 504 p. (опубликован перевод: Стретт Дж. В. (Релей).
Теория звука. Т. 1. М. - Л.: Гостехиздат, 1940. 499 с.).
439
Предположим, например, что в начальный момент времени t = О к мембране
внезапно прикладывается равномерно распределенное давление Q0. Тогда
выражение (к) принимает вид
-">sm")(1 -cos ля).
Когда тип являются нечетными числами, из этого выражения получаем
Qmn = 4abQ0/(mnn2). (л)
В других случаях нагрузка Qmn равна нулю. Подставляя выражение (л) в
уравнение (з) и предполагая, что в начальный момент времени мембрана
находится в покое, имеем
ф|ЯЯ== 16gQ0(l-co_sPm"/) _
Tmn wmtinsp^ 4 1
Отсюда получаем выражение для динамических прогибов при колебаниях,
обусловленных внезапно приложенным давлением Q0:
" _ 16gQ0 VI 1 - cos pmnt тлх плу_ ,
n2w 2Ll i-J mnPmn a b '
m n
где тип - нечетные числа.
Метод Релея-Ритца. При определении частот собственных форм колебаний
мембран может оказаться очень полезным метод Релея-Ритца. Для того чтобы
воспользоваться этим методом, предположим, что прогибы колеблющейся
мембраны задаются выражением
v = Z cos (pt - а), (о)
где Z - функция координат х и у, которая соответствующим образом
описывает форму прогибов мембраны, т. е. форму колебаний. Подставляя
прогибы (о) в выражение (а) для приращения потенциальной энергии, найдем,
что максимальное его значение
а максимальное значение кинетической энергии в соответствии с вы*
ражением (б) составляет
Tma* = ^p2\\z4xdy. (р)
Приравнивая друг другу выражения (п) и (р), находим
Г Г (7 dZ У , / dZ \2
Применяя метод Релея-Ритца, возьмем выражение для функции Z, описывающей
поверхность прогибов мембраны, в виде ряда
Z = (х, у) + а2Ф2 (х, у) +
+ а3Ф3 (х, у) Н , (т)
каждый член которого удовлетворяет условиям на границе. (Прогибы на
границе мембраны должны быть равны нулю). Коэффициенты аг, а2, а3, ...
этого ряда должны быть выбраны такими, чтобы выражение (с) давало
минимальное значение для р2. Таким образом, имеем
Т!Г1J {(#)' + (f)'} "Wl \z'dxi" ='0
ИЛИ
Я{(#)' + (#)>"* ~
- И {(¦§¦)'+(-§)'} dxd"~k:\\
Подставляя в последнее равенство выражение (с), найдем
Таким образом получаем столько уравнений типа (у), сколько имеется
коэффициентов в ряде (т). Все эти уравнения будут линейными относительно
неизвестных коэффициентов ах, а.г, а3, ... Частотное уравнение для
мембраны получаем приравниванием нулю определителя этой системы
уравнений.
Рассматривая, например, формы колебаний квадратной мембраны, симметричные
относительно осей х и у (рис. 5.37), ряд (т) можно взять в следующем
виде:
Z = (а2 - х2) (а2 - у2) (ах + а2х2 +
+ а3у2 + aix2y2 Н ).
Каждый член этого ряда принимает нулевые значения при х = = у = ±а. Тем
самым будут удовлетворяться граничные условия.
Для мембраны в форме выпуклого многоугольника граничные условия будут
удовлетворяться, если взять
Z = [(пух -j- bxy -j- Ci) (а2х -j- b2y -f-
+ c2). . .] ? ? W,
m n
где axx + biy + cx = 0, ... - уравнения сторон многоугольника. Удержав в
этом ряду только первый член (т == 0, п = 0), можно определить, как
правило, с достаточной точностью основную форму колебаний. Если требуется
найти частоты высших форм колебаний, необходимо удержать большее число
членов ряда.
15 т имошенко С. П. и др.
0 Сэ
ta > X
Рис. 5.37
441
Круговые мембраны. Рассмотрим теперь простейший случай колебания круговой
мембраны, когда поверхность ее прогибов симметрична относительно центра
круга. В этом случае прогибы зависят только от расстояния по радиусу г, а
граничным условиям можно удовлетворить с помощью ряда
Z = аг cos {mi2а) -j- а2 cos (3im'2a) -j- • • • , (ф)
где а -¦ радиус границы.
Для удобства воспользуемся полярной системой координат, тогда выражение
(п) необходимо представить в следующей форме:
j(-^-)22mdr. (п')
О
Затем вместо выражения (р) следует взять
а
Tmax=^p^Z*2nrdr, (р')
О
а равенство (у) заменить на следующее:
J {(if)" - -§г z!j 2ял*=о. (У)
о ^ 1
Удержав .в ряду (ф) только один член и подставив представление Z = аг cos
(пг/2а) в равенство (у'), получим
а а
л2 г . 9 лг , р2ш Г <> яг ,
isH-wrdr = -w\Q0^-^rdr'
о о
откуда следует
я2 / 1 . 2 \ _ p2w /1 2 \
1Ж \!Г + я2 / gS \ 2 я2 /
или______________________________________________________________________
____
и а ) w Точное решение * в этом случае имеет вид
р=ие±у-Щ'
Ошибка первого приближения не превышает 0,5 %.
Для того чтобы получить более точное приближение для основной формы
колебаний, а также для частот более высоких форм колебаний, необходимо
удержать большее число членов ряда (ф). Эти
* См. кн. Релея, цитированную выше.
442
формы колебаний будут иметь одну, две, три и т. д. узловых окружностей,
на которых равны нулю прогибы при колебаниях.
Кроме форм колебаний, симметричных относительно центра, круговая мембрана
