Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.
Скачать (прямая ссылка):
Для того чтобы получить болёе точное значение частоты, удержим в ряде (ж)
два члена. Тогда будем иметь два параметра ах и а2-Изменяя их отношение,
можно также изменять (в определенной мере) форму прогибов. Наилучшее
приближение соответствует такому отношению, при котором формула (5.149)
дает минимальное значение частоты, для чего требуется выполнение условия
(5.151). Взяв в качестве второго приближения
Х2 = ах (12 - х2) + а2х2 (12 - х2), (к)
найдем
о
Подставив эти выражения в равенство (5.151) и продифефренцировав
результат по ах и а2, получим
(1 -^k2l2)ai+l2^-^-k42)a2 = 0- (л)
(1 _А?2/2)а1+/2(_И--------J_k4^a2 = 0> (м)
где
k2 = p2m/S. (н)
Определитель уравнений (л) и (м) должен быть равен нулю, что дает
&4/4 - 28 k2l2 + 63 = 0.
Два корня этого уравнения k\l2 = 2,46744; kil2 = 25,6. Учитывая, что
рассматриваются только формы колебаний, симметричные относительно
середины пролета, и принимая во внимание обозначение (н), для первой и
второй форм колебаний найдем
р\ = 2,467445//2m; р23 = 25,6S/l2m.
Сравнивая эти значения с точными
2 n2S 2.46740S . 2 9m2S 22.207S
Pl ~ 4i2m ~ l2m ' Рз ~ 412т ~ 12т '
видим, что точность, с которой определяется основная частота колебаний,
очень велика (ошибка составляет 0,00081 %). С другой стороны, ошибка
определения частоты колебаний по третьей форме составляет 7,4 %. При
удержании трех членов ряда (ж) частота колебаний по третьей форме будет
получена с ошибкой, не превышающей 0,5 %.
Из сказанного следует, что при использовании метода Релея- Ритца можно
определить с высокой точностью не только частоту основной формы
колебаний, но также и частоты более высоких форм, удержав достаточное
число членов в представлении для кривой про-
419
гибов. В следующем параграфе будет показано применение метода Релея-Ритца
к исследованию колебаний стержня переменного поперечного сечения. Другой
метод Ритца будет также описан и применен для расчета примеров.
5.20. КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЕЙ ПЕРЕМЕННОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ
В предыдущих параграфах были рассмотрены различные задачи, относящиеся к
колебаниям стержней постоянного поперечного сечения. Однако некоторые
важные для техники задачи, такие, как колебания турбинных лопаток,
корпусов судов и мостовых балок переменной высоты, требуют применения
теории колебаний стержней переменного поперечного сечения.
Дифференциальное уравнение движения такого стержня при колебаниях было
получено выше 1см. уравнение (5.8)1 и имело вид
?r(E/S)+pH?=". (")
где / и F - функции от х. Только в некоторых специальных случаях, которые
будут рассмотрены ниже, можно получить точные выражения для нормальных
функций и частот колебаний. Поэтому для определения собственных частот
колебаний часто используют приближенные методы.
Применяя метод Релея-Ритца к задаче о колебаниях стержня, запишем
следующие выражения для максимальных значений потенциальной и
кинетической энергий:
Um!iX = -L\EI^)dx- (б)
0
I
Тщах PFX2 dx> (В)
откуда следует
О I о
Для того чтобы получить приближенное решение, поступим, как в предыдущем
параграфе, и зададим форму кривой прогибов в виде ряда
X = ар! (х) + а2Ф2 (х) + а3Ф3 (х) + ..., (д)
где каждая из функций Ф" удовлетворяет концевым условиям для стержней.
Условие минимума значения частоты (г) имеет вид
i | i -
= 0 (е)
дап
j I (d2X/dx2)2 dx j FX2 dx
420
или
о
о
о
о
Из формулы (г) и равенства (ж) следует
дап
д
Л'Ш
d?X\ 2 рЧ р
dx2 7 ?
X2j^t = 0 (5.152)
о
Таким образом, задача сводится к определению значений входящих в
представление (д) постоянных аъ а2, а3, которые соответствовали бы
минимальному значению интеграла
Уравнения, получающиеся из равенства (5.152), являются однородными и
линейными относительно аъ а3, й3, ..., и их число равно числу
удерживаемых членов ряда (д). Приравнивая нулю определитель этих
уравнений, получим частотное уравнение, при решении которого можно
определить частоты различных форм колебаний.
Колебания клина. Применим теперь метод Релея-Ритца к случаю клина
постоянной толщины, один конец которого не закреплен, а второй жестко
заделан (рис. 5.30). В данной задаче имеем следующие геометрические
характеристики поперечного сечения:
где / - длина консольного стержня; 2b - высота его поперечного сечения на
жестко заделанном конце.
В рассматриваемом случае концевые условия имеют вид
(з)
о
F = 2bx/l; I = (26х)3/(12/3),
(и)
(*),=, = 0; (dX/dx)x=l = 0.
(к)
У
Для того чтобы удовлетворить этим условиям, зададим кривую про* гибов в
виде ряда
X = - (л)
Легко видеть, что каждый член ряда, а также его производная по х
обращаются в нуль при х = I. Поэтому будут выполняться третье и четвертое
условия (к). Первое и второе условия также будут выполняться, поскольку /
и dlldx равны нулю при х = 0.
Взяв в качестве первого приближения представление
X1 = ai(l-^-)2, (м)
после подстановки его в формулу (г) получим
" 10ЕЬ2 . , р 5,48 1 / Е , ,
P' = ~W' = <")
Для получения более точного решения удержим в представлении (л) два
