Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.
Скачать (прямая ссылка):
kxl k2l ksl kAl kb I
3,927 7,069 10,210 13,352 16,493
Приближенные значения этих корней можно найти с достаточной точностью по
формуле
На рис. 5.18, а-в показаны относящиеся к данному случаю три первые формы
колебаний.
Для всех рассмотренных выше концевых условий составлены таблицы
нормальных функций и их производные.* Пользуясь этими таблицами, можно
значительно упростить решение задач о поперечных колебаниях стержней.
Покажем теперь, как данные из подобных таблиц могут быть использованы при
исследовании динамического поведения стержней при заданных начальных
условиях. Аналогичный подход для исследования динамического поведения,
обусловленного действием изменяющихся во времени нагрузок, будет
рассмотрен в следующем параграфе.
Метод, использовавшийся выше для исследования динамического поведения
упругого тела, обусловленного заданными начальными условиями, включал
вычисления интегралов вида
i 1
J h (х) Xi dx\ \}г{х)Хгйх.
о о
Непосредственно интегрировать подобные выражения трудно, если нормальные
функции xt имеют сложный вид. Среди изученных выше типов стержней только
свободно опертые стержни имели
* Young D., Felgar R. P. Tables of characteristic functions representing
normal modes of vibration of a beam. - Univ. Texas Publ., 1949, N. 4913.
383
простые формы колебаний. Решения для стержней с иными концевыми условиями
содержат гиперболические функции, для которых обычно требуется численное
интегрирование. Поэтому, как будет показано ниже, более удобен иной
подход, особенно в тех случаях, когда начальные условия.fопределяются
сосредоточенными силой или моментом. Ниже обсужден случай, когда
начальное перемещение Уо - fi (•*) создается сосредоточенной силой Р0,
внезапно удаляемой в момент времени t = 0; аналогичным образом можно
рассмотреть и случай с сосредоточенным моментом.
Функцию у0 = /у (х), описывающую начальные перемещения стержня, можно
представить в виде ряда по нормальным функциям Xt:
оо
Уо - bi^i ~Ь ЬгХ2 -f- bsX3 -р . . . = J] btXi, (о)
1=1
где постоянные bt являются неизвестными, которые необходимо определить.
Энергию деформации призматического стержня в изогнутом состоянии можно
определить из выражения
i
U = j (№)2 dx. (п)
о
Подставляя в выражение (о) вторую производную функции у0 [см.
представление (о) ] по х, получим
оо I
1=1 о
Из соотношений (5.91) и (5.92) следует
/ 1
[ (X"tf dx = k\ j X? dx. (с)
о и
Используя эти равенства, из выражения (р) находим
ОО I
U = -^-^b№jxyx. (т)
i=i а
Предположим, что начальные перемещения у0, описываемые представлением
(о), создаются сосредоточенной силой Р0, приложенной в точке х - ху и
направленной параллельно оси у. Для определения входящих в представление
(о) постоянных bt применительно к рассматриваемой задаче воспользуемся
принципом возможных работ. Рассмотрим возможное перемещение 66гХ; и
приравняем возможную работу приложенной силы приращению энергии
деформации
1
PfbtXn = -щ.ВЬ{ = EIbtW>t | Xi dx, (у)
0
384
где через X;i обозначено значение функции Xt в точке х = лу. Решая
равенство (у) относительно bh получим
. <Ф)
Elk\ j X] dx
О
Подставляя это выражение для bt в представление (о), найдем
k\\X\dx о
Здесь можно видеть, что способ нормирования функций не влияет на величину
у0. В упомянутых выше таблицах процедура нормирования задается
соотношением
i
j X] dx = I. (ц)
О
С учетом этого соотношения коэффициенты (ф) можно представить в форме
и /г 1 1 1 \
?/(*,/)*' (5.111)
тогда выражение (х) для искомого решения принимает окончательный вид
^ ад 1
У°~ EI 2j (М)4 (5.112)
i=i
и может быть использовано при статическом анализе для определения формы
линии прогибов стержня.
Учитывая, что динамические перемещения упругого стержня при свободных
поперечных колебаниях, вызванных начальным
перемещением 6;Хг, равны
Hi = biXi cos р^, (ч)
можно определить суммарное динамическое поперечное перемещение, если
начальное перемещение задано в виде функции у0:
оо
у = biXiCOspit. (ш)
1=1
Подставляя в- (ш) выражение (5.111) для Ьи найдем
Р013 XiXn , ._ ,,..
^ = -er2jlW'cos^- (5Л13)
i-1
Проводя числовые расчеты с помощью этого выражения, из таблиц находят
столько значений Хгь сколько форм колебаний собираются учесть в этом
выражении.
Va 13 Тимошенко С. П. и др. 385
Точно так же, как и для сосредоточенных сил, этот метод может быть
использован в случае распределенных нагрузок, однако с практической точки
зрения так поступать не особенно удобно. Определение возможной работы,
совершаемой распределенной нагрузкой [см. выражение (у)], приводит к
необходимости вычислять интегралы от произведения интенсивности нагрузки
на каждую нормальную функцию по длине стержня. Эти интегралы с функцией
нагрузки аналогичны тем интегралам с функцией перемещения, для которых
выше указывалось на нежелательность интегрирования. Однако в большинстве
случаев более просто вычислить интеграл с функцией нагрузки, чем с
функцией перемещения.
Пример. Стержень с жестко защемленными концами нагружен поперечной силой
