Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.
Скачать (прямая ссылка):
записать в форме
(•?)"_" = "• (?)", = "•
Для того чтобы удовлетворить первому из этих условий, необходимо в
выражении (ж) положить D = 0. Второе условие будет удовлетворяться, если
считать, что С Ф 0, т. е. существует нетривиальное решение, только при
sin-^- = 0. (5.3)
Это соотношение представляет частотное уравнение для рассматриваемого
случая, откуда можно найти частоты собственных форм
продольных колебаний стержня с незакрепленными концами. Уравнение будет
удовлетворяться, если положить
~-?~ = in, (и)
325
где i - целое число. Полагая I - О, 1, 2, 3....... можно получить
частоты различных форм продольных колебаний. Значение i - О соответствует
частоте, равной нулю, что означает перемещение
стержня как абсолютно жесткого тела в направлении оси х. Частоту
основной формы колебаний можно найти, положив в равенстве (и) f = 1, что
дает
ДЯ 7% "1 f' Е /р j,
ft = T = Tr7' (5-4)
Соответствующий период колебаний
'>=T = Tt=*Vi- <5-5>
Эта форма колебаний показана на рис. 5.1, в и описывается [см. выражение
(ж) ] функцией вида
Хх = С, cos^ = Сг cos~.
1 1 а 1 I
На рис. 5.1, г и д представлены графики соответственно для второй и
третьей форм колебаний, для которых имеем
~^- = 2л; Х2 = С2 cos-^;
¦E^L - 3jt; Х3 = С3 cos-^.
a J I
Общий вид частных решений (д) уравнения колебаний (5.1) можно представить
так:
тх / , mat , п . inat \ , .
щ = cos-j- f Ai cos-j ]r Bt sm--J. (к)
Суммируя эти решения, перемещения при произвольных продольных колебаниях
можно представить в следующей форме:
ОС
V' " inx / я inat 1 n , inat \ C\
u = > COS -j- М,- COS -t j- Bt sin -j-J . (5.6)
i=i
Постоянные At и Bt, входящие в решение (5.6), можно всегда подобрать
таким образом, чтобы были удовлетворены начальные условия произвольного
вида. Предположим, например, что в начальный момент времени (при t = 0)
перемещения и являются функцией продольной координаты вида (")*=о = Д
(х), а начальные скорости задаются функцией вида (")*=о = Д (*)•
Подставляя 1 = 0 в выражение (5.6), получим
Продифференцировав выражение (5.6) по t и подставив t = О, найдем
= (м)
i=i
Коэффициенты At и Ви входящие в выражения (л) и (м), можно определить,
используя, как и выше [см. выражение (1.59а)], следующие формулы:
Ai = -j- jM*)cos-^- dx- (н)
О
I
Я* = 7йЛМ*)с08-т^. (О)
о
В качестве примера рассмотрим теперь случай, когда сжатый приложенными по
концам силами призматический стержень внезапно
освобождается от этих сил в момент времени t = 0.
Предполагая,
что поперечное сечение в середине пролета стержня сохраняет свое
положение, получаем
(u)t=o = fi (х) = -ту- - е0х; /2 (х) = 0,
где е0 - деформация сжатия в момент времени t = 0. Тогда из выражений (н)
и (о) получаем
л 4бл/
Ai = -rfljr > 1 - нечетное;
At = 0, i - четное; Bt = 0.
Общее решение (5.6) в этом случае принимает вид
оо
4еп/ 1 l'nx inat , .
и = 2j - cos-у-cos-у-. (п)
1=1, 3, 5,...
В этом решении i принимает только нечетные целочисленные значения,
следовательно, перемещения при колебаниях являются симметричными
относительно поперечного сечения, лежащего в середине пролета стержня.
В качестве второго примера рассмотрим свободные продольные колебания
стержня, один конец которого защемлен, а другой остается незакрепленным
(рис. 5.2, а). Концевые условия в этом случае имеют вид
<">-" - (¦§•)", " "¦ <р>
Чтобы удовлетворить первому из этих условий, положим в общем выражении
(ж) для нормальных функций, что 1 = 0. Второе условие дает частотное
уравнение вида
cos (pt/a) = 0,
в)
ui/b~ 251 1
г)
Рис. 5.2
откуда находим следующие значения частот и периодов различных форм
колебаний:
17Tfl t 2я 41 . 1 О С /Л\
Pir==~2T-' Ti='7~==17' l=l> 3, 5, ... (с)
Тогда общее выражение (д) для различных форм колебаний принимает форму
inx [ л inat . D inat \ , .
U; = Sin-2Р (^Л; COS -gy-+ 5; SinJ. (т)
Общее решение для продольных колебаний получаем суммированием всех
решений, что дает
(Л, cos+В, sin(5.7)
Sinx / " inat , п inat
sm-IT "
i=l ,3,5,...
Постоянные Лг и В; в каждом конкретном случае определяем из начальных
условий (при t = 0).
Предположим, например, что со стержня, первоначально сжатого приложенной
к незакрепленному концу (см. рис. 5.2, а) продольной силой Р0, в момент
времени t = 0 внезапно убирается эта сила. Обозначив через е0 начальную
деформацию PJEF, получаем следующие выражения для начальных условий:
(u)<=o = eo*; (й),=0 = О.
Второе из этих условий будет удовлетворено, если в выражении (т) положить
постоянную В; равной нулю. После чего для определения постоянной Ai
получаем уравнение
At sin (inx/21) = е0д:, i = 1, 3, 5, ..., oo.
328
Используя выражение (1.59, б) найдем Аг = 2-^\
inx , 8sJ ,
х*м - йх = -я5г(-
21
-1)(
i-1) /2
тогда решение (5.7) сводится к следующему виду: 8е0/ V (-1)(,'-1)/2
и =
(=1. 3,...
inx inat
Sin ~2Г C0S 21
(У)
На рис. 5.2, б-г показаны вклады первых трех форм колебаний в суммарное
динамическое перемещение стержня. Можно отметить, что амплитуды различных
