Комбинаторные методы в теории случайных процессов - Такач Л.
Скачать (прямая ссылка):
/-о
для 0 ^ и ^ Т и Р {% (и) < х, % (о) < у) =
- SS ЯЦ-WO.-.). (т)'(^Г(¦ -тГК<<"-*>м
для 0 < и < о < Г, где Н] (х) означает ;-ю свертку функции Н (х) с самой
собой.
11. Обозначим через Q' искомый процесс образования очереди. Процесс Q' -
обратный для процесса Q, определенного в примере, следующем за теоремой И
§ 28. Здесь ?0= 1. Пусть р0 -число требований, обслуженных в начальный
период занятости. По теореме 10 § 28
п
Р {р' | ?0= 1} = 1 - ^ (l--1) р {*"-/},
1-о
где
ОО
PM,-/)- J е~"хdFn(x)
о
в силу (68) § 28, a Fn (х) - это п-я свертка функции F (х) с самой собой.
Если W'- искомый процесс образования очереди, то W' является обратным
процессом для процесса W, определенного в примере, следующем за тео-
Решения
245
ремой 11 § 29. В данном случае т) (0) = 0. Если 0О -
длительность начального
периода занятости, то по теореме 10 § 29
t
Р {0о < 11 т) (0) = 0} = 1 - J (1 - X) dup {х (<) < у),
о
а в силу (80) § 29
оо
Р [х (0 < у]= J] е-* Fn(у).
п=0
откуда
оо /
p{0'<f|t,(O)-o}-n5]e_li<-lJ-J [[~Fn(y)\dy-
п= 1 0
Замечание. Вероятность того, что начальный период занятости состоит из п
обслуживании и имеет длительность ^ t, равна
Р (ро = я, 0q<<) = !)| JJ e~^(u+v)v (и + v)n~2 [1 -F(v)\ dE"_,
(и) dv
u + v < t 0 ^ u, 0< v
(cm. [76] ).
12. Имеем
n - i
J J (' -T^r) (тГ'('
u+v^x 0< u, 0< v
где Fn (x) означает п-ю свертку функции F (х) с самой собой. За прямым
доказательством этого результата мы отсылаем к теореме 8 работы [88].
. Можно также получить Р {0q х | ?0 = ij из теоремы 10 § 29.
Действительно, Р {0Q < х J ?0= i] = Е {р {(c)о< х | ц (0)}, где Р {ц (0)<
х} = Ft (х) и Р [0д <[ х | т) (0) = с] определяются по формуле, (72) §
29.
Глава 6
1. Здесь
\1Х
Р {х (0 < 4 = / е V 1 аУ
(0
о
для и 1>0. Кроме того, Е {% (t)} = t[\i, т. е. р=1/р. В силу (2)
§ 15
Р {0 (0 < х I ii (0) = с} = Р { sup [к(в)-а]<ги)((0<Нг-с) =
о<: и < t
]i.i.i + X-C)
1
J е-у-1 dy-Vte~'ut'X
' Г (/)
246
Решения
для х ^ 0 и 0<[с^У. По теореме 3 § 15 lim P{ti(0<*} = P{ sup [х (и) - и]
< х) =
t-? оо 0 < и < со
, п .-ах Г е [р. (х + у)]у 1
¦l-(p-l)e J г^л----------------- dy
Г (у)
о
для *>0 и р>1, а по теореме 1 § 17
Р {а (У) < х - с | ri (0) = с} = Р {и - х (и) < л: для 0 < и < У) =
= 1-*>¦** Г е~*^(У-х)У~1 dt, J Г(</+1)
о
для 0 ^ с < л: < /. Так как Е (/)} - l/\i и Var {% (0) = t/\i2, то по
теореме 4 § 29
lim Р | --------- < л: I = J е " 12 du
<-><" I ]/ t/ii I у 2л -oo
для любого u> 1, а по теореме 3 § 17
lim Р {а (У) ^ х - с | т| (0) = с) - 1 - е~шх
t->oo
для 0 <[ с ^ х, где со - наибольший вещественный корень уравнения ре0>=р
+ со. Если р<1, то со > 0, а если р^1, то са = 0. Далее,
-и/ >/)7 '
/=¦ I
ш = р (2е w 11;
это можно получить из разложения Лагранжа (см. дополнение).
2. Здесь
ОО
Р{х' = e-yyx~'dy
at
для *>0, Е {х* (05= Р* и Var (х* (05 * Р*-В силу (77) § 29
Р {0* <У + с | Г! (0) = с) = 1 - Р (л (0 < с I Л (0) = 0),
а правая часть получена при решении задачи 1.
В силу (65) § 29
Р №* (У) < jc + с | т) (0) = с) = Р (т) (дс) < t - х | т] (0) = 0);
правая часть получена при решении задачи 1.
Если р>1 и 0 <[ с, 0<[ У, то
lim Р {0п < t + с | ri (0) = с] = 1 - lim Р {ri (У) < с);
? -> оо 1 /->оо
правая часть также получена при решении задачи 1.
Если р < 1, то_ по формуле (66) § 29
Решения
247
3. Если {r| (t), 0 <1 t < 00} - стационарный процесс, то по теореме 4
§ 33 для О^х^т, где W (х), 0^дс<оо, определяется равенством
ОО
Г (0)5
Q (5) = j e~sx dW (х)
s - Ф (5)
для Re(5)>", а " - наибольший вещественный корень уравнения (r)(s)=s. В
данном случае
Ф
(s) = -7^- f (\~e~sx) У 4я ¦>
р = Ф' ( + 0) = 1/2 V , а> = 0 при ц>1/4 и ш = 1- 2 Кр при р < 1/4. Кроме
того,
дР {% (0 < х} ^ дх Y 4т
-ехр
для х > 0.
В силу (54) § 19
2/р
Г (х) = Г(0)
-^[ ехР[(>4Г-р)г/-------?-1
^ та, (I -X) I- 4<' + ""1
rf(/
4(х + у) J (х,+ г/)
если р ф 1/4, причем Ф' (со) = 1/2 (со + J^p ),
Если р=1/4, то W (х) можно получить, так: имеем
(X
dH* (.г) f р Г
dx ' я J
для х > 0 и
Рг/ dy
п J у1/2
д:
Г (5) = (V- dH* (X) =
Y J ps s
для Re (s) ^ 0. Если p = 1, т. e. p = 1/4, to
- Ф* (4
откуда по формуле обращения
W(x) = W(0) [1 +x + H* (*)]. Замечание. Можно также написать
5 + р1''2 - (s + у.)'1*
откуда по формуле обращения
¦ +
5/2 р'
W (х) = W (0)
•ре
(I -р) jc/p
I s + 2р'/г - 1 s + 2pv^ - ,
X
+ pj dH" (у)
. / J
Ф (4
248
Решения
если р < 1, и
W (х) = W (0)
ре
(р-1) х/р .
1
р- 1
* I
+ р J е(Р(х-у№ dfr (у) 1,
о j
если р> 1.
4. Для стационарного процесса (г] (t), 0 t < оо} по теореме 4 § 33
р {п т < х) = - в7 " 1Л \') ^ х)
для 0 <[ х т, a W (х), 0 х < оо, определяется равенством
ОО
Г (0)5
!(")= | е~5* dU7(x)=^-
Ф(5)
для Re (s) > м, где ffl - наибольший вещественный корень уравнения Ф (s)
= s. В данном случае
ОО
<D(s)- J (\-e-sx)e~"*^ -log(l+i.)
Р{% (<)<*}-
Г (/)
J в'У1 dy
для х^О и ^>0. Далее, А, = Ф(оо) = оо и р - Ф'(+0) = 1/ц. Если р<1, то to
= 0. Если р> 1, то о - наибольший неотрицательный вещественный корень
