Комбинаторные методы в теории случайных процессов - Такач Л.
Скачать (прямая ссылка):
+ q= \ и 0<р<1. Найти распределение случайных величин sup (Nr - r) и
sup (r-Nr).
1 <r<°°
7. Урна содержит а белых и b черных шаров. Производится
последовательная выборка. Каждый вынутый шар возвращается обратно вместе
с с шарами того же цвета. Положим vr = 2, если г-й вынутый шар оказался
белым, и vr = 0, если он оказался черным. Найти распределение случайных
величин sup (Nг - г)
и sup (r - Nr).
1<><оо
8. Пусть V], v2, ..., vr, ... - взаимно независимые одинаково
распределенные случайные величины с распределением Р {vr = /'} = e~°aJfj\
для / = 0, 1, 2.......
Записать тождества (26) § 6 и (21) § 8 для этого случая.
9. Доказать, что
для п - 1,2,....
10. Пусть |j, 12, ..., |г, - последовательность взаимно независимых слу-
чайных величин с общей функцией распределения
1<Г<оо
tl
/=1
где а - положительная константа. Найти функции распределения случайной
величины = max (0, |i, gj, + |2, ..., + ... + i").
Литература
43
ЛИТЕРАТУРА
[1] Andersen Е. A., On the fluctuations of sums of random variables, I-
II, Math. Scand., 1 (1953), 263-285; 2 (1954), 195-223.
[2] Baxter G., An operator identity, Pacific J. Math., 4 (1958), 649-663.
[3] В a x t e r G., An analytic problem whose solution follows from a
simple algebraic identity, Pacific J. Math., 10 (1960), 731-742.
[4] Bernoulli J., Ars conjectandi (Opus posth.), Basileae, 1713.
[5] Боровков А. А., Новые предельные теоремы в граничных задачах для сумм
независимых случайных величин, Сиб. мат. журнал, 3 (1962), 645- 694.
[6] Darling D. A., The maximum of sums of stable random variables, Trans.
Amer. Math. Soc., 83 (1956), 164-169.
[7] D e Moivre A., De mensura sortis, seu, de probabilitate eventuum in
ludis a casu fortuito pendentibus, Philos. Trans. London, 27 (1711), 213-
264.
[8] Dwass М., A fluctuation theorem for cyclic random variables, Ann.
Math. Statist., 33 (1962), 1450-1454.
[9] E g g e n b e r g e r F., Polya G., Ober die Statistik verketteter
Vorgange, Z. ang. Math, und Mech., 3 (1923), 279-289.
[10] Feller W., On combinatorial methods in fluctuation theory,
Probability and Statistics, The Harald Cramer Volume, New York, 1959, pp.
75-91.
[11] Huygens C., Opera Varia C. Hugenius, Lugdunum Batavorum, 1724, pp.
723-744.
[12] К а с М., Pollard H., The distribution of the maximum of partial
sums of independent random variables, Canadian J. Math., 2 (1950), 375-
384.
[13] Kemper man J. H. B., The passage problem for a stationary Markov
chain, The University of Chicago Press, 1961.
[14] Kingman J. F. C., Spitzer's identity and its use in probability
theory, J. London Math. Soc., 37 (1962), 309-316.
[15] К i n n e у J. R., First passage times of a generalized random walk,
Ann. Math. Statist., 32 (1961), 235-243.
[16] Pollaczek F., Fonctions caracteristiques de certaines repartitions
d?finies au moyen de la notion d'ordre, C. R. Acad. Sci. Paris, 234
(1952), 2334-2336.
[17] Spitz er F., A combinatorial lemma and its application to
probability theory, Trans. Amer. Math. Soc., 82 (1956), 323-339. (Русский
перевод; Спицер Ф., Комбинаторная лемма и ее приложения к теории
вероятностей, сб. Математика, 8 : 4 (1964), 135-160.)
[18] Spitzer F., A Tauberian theorem and its probability interpretation,
Trans. Amer. Math. Soc., 94 (1960), 150-169.
[19] Спицер Ф., Принципы случайного блуждания, изд-во "Мир", М., 1969.
[20] Takacs L., The probability law of the busy period for two types of
queuing processes, Operations Res., 9 (1961), 402-407.
[21] Takacs L., Combinatorial methods in the theory of queues, Rev. Inst.
Internat. Statist., 32 (1964), 207-219.
[22] Takacs L., Combinatorial methods in the theory of dams, J. Appl.
Prob., 1
(1964), 69-76.
[23] Takacs L., A combinatorial method in the theory of Markov chains, J.
Math. Anal. Appl., 9 (1964), 153-161.
[24] Takacs L., Application of ballot theorems in the theory of queues,
Proceedings of the Symposium on Congestion Theory, University of North
Carolina Press, 1965, pp. 337-398.
[25] Takacs L., From ballot theorems to the theory of queues, Columbia
University Report CU-41-64-Nonr-266 (59), MS, March, 1964. (Резюме: Post
Office Telecommunications Journal, Special Issue, Report of the
Proceedings of the Fourth International Teletraffic Congress, London
1964, pp. 25-26.)
[26] Tanner J. C., A derivation of the Borel distribution, Biometrika, 48
(1961), 222-224.
44
Гл. 2. Флуктуации сумм случайных величин
[27] Tacklind S., Sur le risque de ruine dans des jeux inequitabies,
Skand. Akt., 25 (J942), 1-42.
[28] Vogel W., Die kombinatorische Losung einer Operator-Gleiehung, Z.
Wahr., 2 (1963), 122-134.
[29] Wen del J. G., Spitzer's formula: a short proof, Proc. Amer. Math.
Soc9 (1958), 905-908. (Русский перевод: Вендель Дж, Краткое
доказательство формулы Спицера, сб. Математика, 8 : 4 (1964), 151-154.)
[30] Wen del J. G., Brief proof of a theorem of Baxter, Math. Scand., 11
(1962), 107-108.
Глава 3
ФЛУКТУАЦИИ ВЫБОРОЧНЫХ ФУНКЦИИ случайных процессов
