Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
малыми амплитудами моделирует движение, соответствующее непрерывному
спектру.
В заключение проследим эффект сгущения нулей на коэффициенте а(Х),
который в нашем случае является произведением множителей Бляшке
со
\ Р/-1Р(р)/=1,2,...,
(8.34)
-оо
/'=!
(8.35)
Имеем
откуда при ImX>0 получаем
-со
Аналогичным образом при 1тЯ<0 получаем
Пт ап (К) = а_ (X) = ехр
(8.38)
Функции а±(К) имеют на вещественной оси предельные^ значения из своих
областей аналитичности и при этом а_(Х)=а+(Х). По формулам Сохоцкого -
Племеля для вещественных X
230
ГЛ. Ш. ГАМИЛЬТОНОВА ФОРМУЛИРОВКА
получаем
a+(K)a-(k)=g(K), g(X)=ez*^X), так что, в частности, | а+ (X) | ^ 1 и
(8.39)
Р (*•) = - 1п|а+(Х)|.
(8.40)
Сравнивая формулы (8.40) и (7.6) и учитывая условие нормировки,
убеждаемся, что плотность р(ц) в интегралах движения
(8.34) действительно получается как переменная типа действие.
Приведенные рассуждения показывают, что сгущением нулей А, из тривиальной
скалярной задачи Римана с нулями
получается регулярная скалярная задача Римана (8.39). При этом в силу
условия х<0, обеспечивающего неравенство ImAj>0 в (8.31), таким образом
можно получить только задачу Римана для сжимающих функций g(X):
которая и встречается в модели НШ с е = -1.
Н а этом мы заканчиваем описание модели НШ в быстроубывающем случае.
§ 9. Полная интегрируемость в случае конечной плотности
В этом параграфе мы завершим описание гамильтонова подхода к модели НШ.
Мы обсудим с гамильтоновой точки зрения характеристики вспомогательной
линейной задачи bp(X), Xj, введенные в гл. I, в терминах которых
уравнения движения решаются явно (см. § 1.10, II.6). В частности, мы
подчеркнем интересные отличия от быстроубывающего случая в программе
построения переменных типа действие - угол в терминах коэффициентов
перехода и характеристик дискретного спектра.
Напомним сначала, следуя § 1.8-4.9, определение и необходимые свойства
этих данных. Приведенная матрица монодромии
вводит коэффициенты перехода непрерывного спектра ар(Х) и ЬР(Х). Здесь X
принадлежит Е(r) (т. е. X вещественно и |Л.| >оо),
1 (к - X)
а(Х)а{Х) = 1
(8.41)
(8.42)
(9.1)
§ 9. КОНЕЧНАЯ ПЛОТНОСТЬ. ПОЛНАЯ ИНТЕГРИРУЕМОСТЬ
231
a ?(Я)=УЯ2-'to2, sign k(X) = sign X для X из Имеет место
условие нормировки
КМ|*-|МЬ)|2=1. (9-3)
Функция ар(Х) аналитически продолжается на лист Г+ рима-новой поверхности
Г функции k(X) =УЯ2-ю2, определяемый условием lmfe(^)^0, за возможным
исключением точек ветвления Х= ±о). Имеют место асимптотики при |Я|->-оо
flp(X) = ^/3 + 0^ (9.4)
для lm а>0 и
flp(b) = <r<e/*+0(-L) (9.5)
для 1тЯ<0 и соотношение инволюции
яр (^> +) = яр (X, +)• (9.6)
Нули Xj функции ар(Х) на Г+ могут лежать только в лакуне -о)<^<о) и
являются однократными. Их число п конечно и они составляют дискретный
спектр вспомогательной линейной задачи.
Коэффициент ЬР(Х) удовлетворяет инволюции
b9 (X - Ю) = - bp (X + Ю) (9.7)
для X из и, вообще говоря, не продолжается с разреза 5?м = = (КШ, ±) на
поверхности Г. В точках Х= ±м коэффициенты аР(Х) и ЬР(Х) регулярны или
сингулярны одновременно. При
этом если в окрестности точки Х= ±м
bP(V = ~ + 0( 1), (9.8)
R
где Ь±фО - случай общего положения, то
яРМ = ±% + 0(1) (9.9)
и Ь± вещественны, причем
sign b± = (-l)iV±, (9.10)
1Де целые числа N± определяются из условия выбора знаков (1.9.58).
И, наконец, имеют место дисперсионное соотношение X 4- k (к) - Х! - kf
яр (Я) = е'0/2 ТТ
^ X + k(X)~ Xj + kj
у exp f-Ь \ (ц-ДМ-Uj, (9.11)
v ^ *()!) I |1-X / n
232
ГЛ. III. ГАМИЛЬТОНОВА ФОРМУЛИРОВКА
где
kj = i/(o* - к), j = 1,.. ., п, (9.12)
и условие (0)
0s- f 1"<1+ |>>|л)|1) д 4-2 У arg (t, - kj) (mod 2л), (9.13)
" I * Р.
которые согласованы с асимптотиками (9.4) - (9.5).
Решения Йоста Т±(х, к) при к из вводятся посредством пределов
Г+(х, к)= lim Т(х, у, к) СГ1 (0) Ер (у, к),
1/^>-гЭО
(9.14)
Т_ (х, к) = lim Т (х, у, к) Ер (у, к).
у оо
Первый столбец Т{1\х, к) матрицы Т^(х, к) и второй столбец (х, к) матрицы
Т+(х, к) аналитически продолжаются на лист Г+. Коэффициенты перехода
дискретного спектра ^ определяются из соотношений
Т(1)(х,к;) = У;Т(:)(х,кд, (9.15)
являются чисто мнимыми и удовлетворяют условиям
da0
signiy/ = sign (к/) = 6/, /= 1,. . ., n. (9.16)
ah
Для вычисления скобок Пуассона коэффициентов перехода можно практически
дословно использовать схему из § 6, отправляясь от основной формулы из §
1:
{Т (х, у, к) (r) Т (лг, у, р)} = [ г (к - р), Т (лг, уЛ)(r)Т (х, у, у)], у<
х.
(9.17)
При этом в силу инволюций (9.6) - (9.7) можно ограничиться случаем, когда
к и р из Rq. Мы приведем лишь окончательные результаты.
Для решений Поста Т±(х, к) имеем соотношения (Г+ (лг, к) (r) Т+(х, у)} = -
г(к~ у)Т+(х, к) (r) Т+ (лг, р) +
+ Т+(х,к)(r) Т+(х, у)г+(к, р), (9.18) {Т_ (х, к) (r) Т_ (лг, р)} = г (к - р)
Т_ (х, к) (х) Т_ (х, р) -
-Т_.(х,к)(r)Т_(х, р) г_ (к, р), (9.19)'
и
{ТЛ*Л)(r)Т+{х, р)} = 0. (9.20)
§ 9. КОНЕЧНАЯ ПЛОТНОСТЬ. ПОЛНАЯ ИНТЕГРИРУЕМОСТЬ
233
Здесь матрицы г±(Х, р) даются пределами
