Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
вают при |а[-*-оо, так что вариационные производныег-7-- и
От W
& (Я)
являются функциями типа Шварца. Вещественная анали-
218 ГЛ. Ш. ГАМИЛЬТОНОВА ФОРМУЛИРОВКА
тичность функционала а(к) (а также и Ь(к)) -разложение его
в ряд по ф(х), ф(х) вида (1.1.7)-получается из аналогичного разложения
для соответствующего матричного элемента матрицы монодромии TL(k) (см. §
2) предельным переходом L-*- оо. Для функционала Ь(к) аналогичным образом
имеем
5Ь (к) _ ( Yх,е~Пх (а (к) + о (1)) при лг -> ж,
бф (х) \ \fxe^r'x(a (X) + о (1)) при х - оо,
/1Ч ,1 (7 47)
_ - - О (1) При j X I -оо,
бф (лг)
где предельные значения принимаются в смысле Шварца.
Таким образом, мы показали, что функционалы а (к) и а{к) при 1гп7>0
являются допустимыми на фазовом пространстве Жа. Что же касается Ь(к) и
Ь(к), то в силу (7.47) их следует рассматривать как обобщенные функции по
переменной к со значениями в алгебре допустимых функционалов; другими
словами,
оо
допустимыми функционалами являются | ф,(А) 6(7)па и
-ОО
оо
\ ф2(k)b(k)dk для произвольных функций ф,(А,) и срг(к) из про-
-оо
странства Шварца. Более того, допустимыми являются и функционалы,
задаваемые абсолютно сходящимися рядами вида
ОО ОС со
F === Г -{- ^ ^ ... ^ Спт (jX-L,. . . , [Лд 1 . . . ,
Vm) К
X b (рх) ...b (р") b (Vj) ... b (Vm) dp! .. . dpndv1 . .. dvm, (7.48)
где коэффициентные функции с"т(рь ..., p"|vb ... , vm) являются, вообще
говоря, обобщенными функциями, а вариационные 8F 6F
производные и являются функциями типа Шварца
(обратим внимание на аналогию с определением в § 1.1). Действительно, для
таких F
§ 7. ПЕРЕМЕННЫЕ ДЕЙСТВИЕ - УГОЛ
219
так что, в силу (7.47), вариационные производные --- . --
1 бф(.г) бф(л.)
являются функциями типа Шварца. Разложение функционала F в ряд по
функциям ф(х), ф(х) вида (1.1.7) получается в результате подстановки в
(7.48) ряда по ф(х), ф(л:) для Ь(к).
Аналогичную интерпретацию в смысле обобщенных функций имеют п Ф(А,),
Ф(Я). При этом допустимые функционалы вида
(7.48) задаются аналогичными рядами по Ф(А,) и Ф(^).
При х>0 функционалами вида (7.48) практически исчерпывается вся алгебра
наблюдаемых. Действительно, формализм обратной задачи задает нам ф(л:) и
ф(*) при каждом х как функционалы от Ь(к), Ь(к) в виде рядов (7.48),
которые абсолютно сходятся при достаточно малых |Ь(А,)| равномерно по х.
Это следует из того, что при таких b (к) для уравнения Винера - Хоп-фа
(II.2.53) абсолютно сходится ряд из итераций. Вопрос о сходимости рядов
для ф(х), ф(х) при произвольных Ь(к) выходит за рамки этой книги.
В указанном смысле Ф(Я) и Ф (к) (а также b(k) и b(k)) являются
координатами на фазовом пространстве, наподобие ф(х) и ф(.г-).
При х>0 приведенная картина полностью описывает фазовое пространство Мы
имеем на Jt0 два набора комплексных канонических координат ф(х), ф(х) и
Ф(>,), ФМ, связанных нелинейным, обратимым и дифференцируемым
каноническим преобразованием ST. Подчеркнем еще раз, что его обратимость
была показана при решении обратной задачи в главе II. Что же касается
свойства дифференцируемости, то оно следует из приведенных в этом
параграфе вычислений.
В координатах ФМ, Ф (к) основные наблюдаемые нашей модели-- локальные
интегралы движения /" •-выглядят очень просто:
ОС
1п= \ Г'1 j Ф (A) j2 "=1,2,..., (7.51)
-ОС
и представляют собой моменты функции |Ф(Я) |2.
Эти формулы имеют естественную волновую интерпретацию. Функция | Ф (А)|2
играет роль функции распределения независимых мод в волновом пакете ф(х,
t) ¦-решении уравнения НШ, а ее первые моменты дают заряд (число частиц),
импульс и энергию этою пакета. Отображение ЗГ осуществляет переход к
независимым модам модели НШ. Само существование таких мод для нашей
модели является нетривиальным фактом и обусловлено ее полной
интегрируемостью. В линейном пределе х->0 отобра-
220 ГЛ. III. ГАМИЛЬТОНОВА ФОРМУЛИРОВКА
жение переходит в преобразование Фурье
со
Ф(7) = f ^(x)e-^xdx, (7.52)
У2я J
- СО
приводящее линейное уравнение Шредингера к независимым модам (см. также §
II.3).
При х<0, помимо Ь(к) и Ь(к), мы имеем еще и данные дискретного спектра
к}, к3 и у,, j=l, п. Из допустимости а(к) при 1тЯ>0 следует допустимость
функционалов kh k3- на фазовом пространстве Л0. Действительно, из условия
а(?ф =0 по правилу дифференцирования сложного функционала получаем, что
ёа (к) |л=л. + a (kj) 6kj = 0, (7.53)
где точка означает производную по к. Отсюда на основании
(6.30) и аналитически продолженных для 1шЯ>0 формул
(7.31) - (7.32) имеем
67; у, , 67, _ - у,
-yX-J-fr(x,kj), -yX-^-gi(x,kj),
6Ф М а (kj) 6ф (-г) а (к})
/=1,...,п. (7.54)
Из формул (6.30), (7.35)--(7.36) и (7.39)--(7.40) заключаем, что
67; 67-
вариационные производные -----------являются функциями
6ф W (х)
типа Шварца. Альтернативный вывод формул (7.54) в духе § 6
состоит в использовании представления (6.23) и рассмотрении
6 In а (7) 6 In а (/.)
вычетов вариационных производных-бф (х) И "- П^И ^' =
=А*
Рассмотрим теперь функционалы у,-, у,-. Для вычисления их вариационных
