Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Первое слагаемое ТI1* (х,Х) в правой части (4.3) аналитически
продолжается в нижнюю полуплоскость и при |Я|->-оо имеет там асимптотику
Т[1} (х, X) е??х^ =. ^ j + о (1). (4.9)
Столбец Т+^(х,Х), участвующий во втором слагаемом, аналитически
продолжается в верхнюю полуплоскость и имеет при |X| -^-оо асимптотику
Па)(*Л)<гл*/3= (°) +о(1). (4.10)
Столбцы Т(+(х,Х) и Т(+ (х,Х) связаны соотношением инволюции (1.5.30)
Т^(х,Х) = оТ':}(х,Х), (4.11)
где о=а, при и>0 и о=го2 при и<0.
Соотношение (4.3) вместе с условиями (4.6) и (4.8) - (4.11) представляет
собой упомянутую специальную задачу сопряжения. Она позволяет найти
столбцы Т+\х,Х), (х,Х) и
) (х, X) с указанными свойствами аналитичности по за-
о (Я)
данной на вещественной оси функции г(Х) и параметрам Xj, с1г j=l,... ,п.
Как и задача Римана, она сводится к системе интегральных уравнений. Для
вывода этой системы воспользуемся представлениями
оо
7'+' (х, X) = ( J ) ^ Г+ (х, у) e-^'dy, (4.12)
X
оо
7t> (дг.Я,) ==(°) eilx/2 + j г+ (х. У) ( ° )eihjhdlJ (4-13)
X
и подставим их в (4.3). Вычитая из обеих частей получившегося равенства
столбец ( о ) ^ И пеРех°Дя к преобразованию
110 ГЛ. II. ЗАДАЧА РИМАНА
Фурье по переменной X, получаем при у>х следующее соотношение:
ОО
Г+(*,*/) (o) + "(* + */)(°) + $r+(*>s) (°)<o(s + */)ds = 0,
(4.14)
где
оо п
со(х) Гг (X) е1Ь*>ЧХ +- " c,e°'ix/1. (4.15)
4я J 2i ~
- ОО 1 - *
Используя инволюцию (1.5.18)
Г+(х,у)=аГ+(х, у)а, (4.16)
уравнение (4.14) можно переписать в матричном виде
СО
г+ (X, у) + Q (х, у) + ^ T+(x,s)Q(s + y)ds = 0, (4.17)
X
где у>х и
Q (а) = со (х) + еш (х) а+. (4.18)
Соотношение (4.17) представляет собой интегральное уравнение для искомой
матрицы Г+(*, у) и называется уравнением Гельфанда - Левитана - Марченко
для правого конца.
Аналогичным образом соотношение (4.1) для столбца Т+г) (х,Х), записанное
в виде
-т(;' (х, X) = 7(Х) Т{- (х, X) + т(- (X, X), (4.19)
й \К)
где
7(Х) = -е-^~, (4.20)
а (д)
приводит к уравнению Гельфанда - Левитана - Марченко для левого конца
X
г_(*,у)+ Q(* + !/) + J r_(x,s)Q(s + y)ds = 0 (4.21)
- се
при х>у. Здесь
^ (*) = ew (*) о_ + со (х) а+, (4.22)
ы(х)=~ ) г (X) tr^ddX + ^2 cie~a,'X/d (4.23)
-ОО /-1
§ 4, УРАВНЕНИЯ ГЕЛЬФАНДА -ЛЕВИТАНА -МАРЧЕНКО
111
а
С/=-г---------> / == 1 л- (4.24)
У,а О-;)
Ядро Т~(х,у) участвует в интегральном представлении (1.5.10) Т_ (х, Х)=Е
(х, X) + J Г_ (х, у) Е (у, X) dy. (4.25)
- ОО
Интегральные уравнения (4.17) и (4.21) исследуются при помощи тех же
аналитических средств, что и уравнение Винера- Хопфа. Характерным
отличием является то, что здесь мы имеем дело с компактными интегральными
операторами.
Рассмотрим общий случай абсолютно суммируемых на всей оси функций ф(х),
ф(х). В силу условия а(к)?= 0 при вещественных X из теоремы Винера
следует, что функция
оо
F(x)= r{X)eiKxl2dX (4.26)
-оо
абсолютно суммируема на всей осн. Вклад от дискретного спектра в функцию
со(х) быстро убывает при х->- + оо (см. (4.15)). Таким образом, по
известной теореме функционального анализа получаем, что интегральный
оператор в пространстве LfM) (х, оо)
оо
nxf(s) = lf(s')Q(s + s')ds' (4.27)
X
является компактным и исчезает по норме при х->-+оо. Аналогичным образом
оператор
й*/(")= I f(s')Q(s + s')ds' (4.28)
- .то
компактен в L jX2)(-оо,х) и исчезает по норме при х->-оо.
Метод решения обратной задачи при помощи интегральных уравнений Гельфанда
- Левитана - Марченко (4.17) и (4.21) основан на следующем утверждении.
Предположим, что заданы функции г(Х), г(Х) из кольца Ш0 и при е=-1 набор
несовпадающих чисел Х}, 1тЯ,,->0, и величи-. ны Cj, cjt /= 1,... , п, со
следующими свойствами:
1) при всех вещественных X
1г(Х) | = |r (X) 1 <1 (4.29)
для е=1 и
1^(Х) | = | г(Х) | <оо (4.30)
для е=-1;
112 ГЛ. II. ЗАДАЧА РИМАНА
2) имеют место формулы согласования
t C/?/==_J_t /==1>_>n> (4.3!)
г (Я) а (Л) аЧЯ,)
где функция а(Х) определяется из соотношения (сравни с
(1.6.22) и (1.6.23))
... Д X - Xj f 1 f In (1 - 8 | Г (|X) |2) . ] . Q0.
а й = У ---------- exp --------- -s-------- dp . (4.32)
й Я-Я/ I 23Xi j. *-n + '0 rj
Построим по этим данным ядра Q(x) и Q(x) по формулам
(4.15), (4.18) и (4.22), (4.23), (4.24) соответственно.
Тогда утверждается, что:
1) интегральные уравнения Гельфанда - Левитана - Марченко (4.17) и (4.21)
однозначно разрешимы при каждом х в пространствах LfX2) (х, оо) и LiXi)
(-оо,х) соответственно-,
2) построенные по их решениям Т±(х, у) по формулам (4.12), (4.13) и
(4.25) матрицы Т±(х,Х) удовлетворяют инволюции
Т± (х, X) =аТ± (х, X) а (4.33)
(сравни с (1.5.19)) и дифференциальным уравнениям
Т± (х,Х) - (•^ + U?' (х) Т± (х, X). (4.34)
dx \ 2i J
_d m <1 N ( Яст:
а
Матрицы. Uо*' (х) даются выражениями
(х) = ± (о3Г ± (х, х) о3 - Г± (х, х)) (4.35)
(сравни с формулами (1.5.32) и (1.5.33)) и абсолютно сумми-
руемы в окрестности ± оо соответственно-,
3) имеет место формула согласования
U{:)(x) = U'-r)(x) = U0(x), (4.36)
так что матрица t/0(x) принадлежит пространству>
