Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
простоты опять предположим, что мы имеем дело только с одной парой нулей
Я0, Я0, 1тЯ0>0, и одной парой подпространств (х) вида (1.47). В формулы
(2.18), (2.22), (2.24) и (2.27), дающие решение задачи Римана с нулями,
входит решение регулярной задачи G+(x, Я) для комплексного Я = =Я0.
Поэтому нам нужна асимптотика при |х|-коо решения G+(x, Я) и для
комплексных Я из верхней полуплоскости. Взгляд на приведенные выше
рассуждения показывает, что все формулы остаются справедливыми и для
таких Я, кроме (2.91) и
"b b
(2.93), где следует заменить -- и-1-2- на 0. Действительно,
а+ (к) а+ (к)
рассмотрим, например, предел матричного элемента (Д^лг, Я))^ при х->-оо.
Имеем при этом
оо оо
^ fx (s) eihs~x) dx = ^ / (s) ei% s~x) dx + о (1). (2.96)
X X
Положим
оо оо
g(x) = ^f (s) eil s~x)dx = ^ f (s + x) eilsds (2.97)
и покажем, что при 1тЯ>0 g(x) исчезает при х->-оо. Из второго равенства
в (2.97) следует, что для таких Я функция g(x)
является сверткой двух функций из L,(-оо, оо) и поэтому сама
принадлежит L,(-оо, оо). С другой стороны, первое равенство в (2.97)
показывает, что g(x) абсолютно непрерывна и
*m. = -&g(x)-f(x), (2.98)
dx
так что ее производная снова принадлежит L4(-оо, оо). Поскольку
функция g(x) очевидно исчезает при х-к + оо, То отсю-
да следует, что она исчезает и при х-^>-оо.
Таким образом, при 1тЯ>0 имеют место асимптотики
5+(*.Я)=(1 ° 1+0(1) (2-99)
\0 а+ (к))
при х->-\~ оо и
G+ (х, Я) = (' а+ (Я) М + о(1) (2.100)
при X->-оо" х \ 0 1 ]
§ 2. БЫСТРОУБЫВАЮЩИЙ СЛУЧАЙ. ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАДАЧИ 99
Рассмотрим теперь проектор Р(х), участвующий в определении (2.22)
множителя Бляшке - Потапова. Из формулы (2.27) и асимптотик (2.99),
(2.100) следует, что
lim [}(х, Яо) = 0, lim (х, Я0) = оо. (2.101)
Х->+ оо Х~^>- оо
Поэтому для проектора Р(х) имеем
limPW = f! ?)' HmP(x)=f* (2.102)
*-"+оо \U 1/ Х~>- со \ U U/
откуда
м о 11 m В (Я) = [ я - я
V0 x-i
Тем самым решения G±(x, Я) задачи Римана с нулями имеют асимптотики при
|х|-коо, совпадающие с формулами (1.39) -
(1.42) после замены а (Я) на--Ь- а+ (Я) и а (Я) на а_ (^)_
% - Xq % - Я о
Более того, нетрудно убедиться, что матрица G+(x, Я0) составлена по
формулам (1.5) и (1.19) из столбцов решений Йоста Т±(х, Я), которые
пропорциональны и экспоненциально убывают при |я|-коо.
Это означает, что Я0 является собственным значением вспомогательной
линейной задачи (2.4), а у0 играет роль соответствующего коэффициента
перехода дискретного спектра.
Случай нескольких пар нулей Я,-, Я,-, 1тЯ,->0, и подпространств (х),
j=l,...,n, рассматривается аналогично. При |х| >-оо множители Бляшке--
Потапова, входящие в матрицу П(Я) (см. (2.28)), становятся диагональными
и решения G±(x, Я) задачи Римана имеют асимптотики (1.39) - (1.42), где а
(Я) дается формулой (2.6). Это завершает доказательство утверждений п. 4.
При доказательстве п. 2 мы показали, что как регулярной задаче
Римана, так и задаче Римана с нулями соответствует
уравнение (2.4), в котором участвуют, соответственно, матрицы
О0(х) и Ua(x) вида (2.5). Сравнение формул (2.18), (2.28),
(2.46) и (2.51) приводит к следующей связи матриц U0(x) и &о(х):
U0(x)=V0(x) +А0(х), (2.104)
где \ (х) = J [ о3) я (*) ], (2.105)
а матрица я(х) определяется из асимптотики множителя П(х, Я) при |Я|->-оо
П (х, Я) = / + | ш (х) + О (2.106)
lim В (Я) = Я -Я0
с^-оо о
(2.103)
100
ГЛ. II. ЗАДАЧА РИМАНА
и имеет вид
яМ = у2 (Я/ - Я/) Pj (х). (2.107)
/=1
Здесь Pj(x) -ортогональные проекторы, участвующие в формуле (2.28).
Приведенные выше результаты об асимптотике &+(х, Я) при |х |-voo и
формулы типа (2.27) показывают, что матрица До(*) абсолютно интегрируема
в окрестности ±оо. Кроме того, матрица я(х), а вместе с ней и Д0(*),
непрерывны по х. Отсюда следует, что Д0(*) принадлежит пространству LfX2>
(-оо,оо). Это утверждение нам понадобится ниже.
Докажем теперь, что функции ф(*), ф(х) принадлежат пространству ДД-
оо,оо). Рассмотрим сначала регулярный случай задачи Римана и покажем, что
функции Bx(s) и Cx(s) при каждом s>0 как функции х являются элементами
пространства L4(-оо, оо), непрерывно зависящими от s.
Докажем это, например, для функции Bx(s). Для этого покажем, что
уравнение (2.61) можно рассматривать и в пространстве функций двух
переменных f(x,s), абсолютно интегрируемых по х на всей оси и непрерывных
по s на полуоси s>0 в указанном выше смысле.
Другими словами, это пространство представляет собой тензорное
произведение L4(-оо, оо)(r)С[0, оо), где С[0, оо)- пространство непрерывных
ограниченных функций на интервале [0, оо). Норма в пространстве L4(-оо,
оо)(r)С[0, оо) задается выражением
оо
||/1= max П/(х, s)|dx. (2.108)
0<^ S < со J -оо
Очевидно, что свободный член в (2.61) принадлежит этому пространству.
Также легко убедиться, что оператор К* с ядром k*(s,s') является
ограниченным оператором в L4(-оо,оо)(r) (r)С[0, оо). Действительно, из
принадлежности [}(х) пространству L4(-оо, оо) выводим оценку
оо
l&xCs, s')|s^ (j |Р(м -s)P(m - s')\du = k (s - s'), (2.109)
