Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
2 , dx - cp( -), (9.54)
в результате чего для /0(Я) получаем представление в окрестности Х=со
I0(X) = -2ni\nk(h)-zv + O(\k(rK) |). (9.55)
Отсюда получаем, что
; I и I *§- " со - - kj
аР (*) = 4аГ е~ П х
k (Я) j=i со - Х/ - к,
1 (* In (1 -j- | ?>р (ц) |2)
х ехр '
(9'56)
I Rco >
Заметим теперь, что при -со<А-<со выполняется соотношение
СО "- Л. k \ - Я ^ ... г -Т\
(У.5/)
со - Я - к } k
Сравнивая (9.56), (9.57) и (9.44), убеждаемся, что формула
(9.46) справедлива, если целое число N+ определяется из условия
о й V arg + - f 1"TL±IWL a, +.,.Vt< я. (9.58)
А ь ю_Х ь. 1 2я ,1 k О.)
I = 1 11 Rcc
Ясно, что (-1)л+ не зависит от выбора ветви аргумента.
Аналогично рассматривается окрестность К=-со. Число Доопределяется из
соотношения типа (9.58), где со заменено на -со. Условия (9.47) в
дальнейшем будем называть условиями выбора знаков. Если коэффициент ЬР(К)
регулярен при Х=со или Х=-со, то дополнительные ограничения описанного
типа не возникают.
Сформулированные свойства данных Ь"(к), У,-, /= 1, ..., п, а 0:
1) инволюция (см. (9.13)),
2) условие (0) (см. (9.44)),
3) условия выбора знаков (см. (9.47) и (9.58)) позволяют однозначно
восстановить коэффициент ар(Х) по формуле (9.43), обладающий свойствами:
1) инволюция (см. (9.12)),
70 ГЛ. I. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ НУЛЕВОЙ КРИВИЗНЫ
2) асимптотики при |Х|->-оо (см. (9.3) - (9.5)),
3) условия согласования знаков (см. (9.46)).
Проверка свойств 2) и 3) тривиальна, так как их вывод носил обратимый
характер. Для вывода свойства 1) следует использовать условие (0) и
равенство
X-k-Xf-kf' Xf + kf _ X + k - X. - k, ^ ^ ^
X-k-kj-kj kj+kf k + k-kj-k,
справедливое при -со<;Я.,<;со.
На этом мы заканчиваем перечисление свойств коэффициентов перехода.
§ 10. Случай конечной плотности. Временная динамика и интегралы движения
Начнем с вывода эволюционных уравнений для решений йоста. Для этого в
уравнении (3.21) для матрицы перехода
5- (х, у, X) = Vp (х, X) Т (х, у, X) - Т (х, у, X) Ир (у, X) (10.1)
at
перейдем к пределу у-+.-оо, предварительно умножив его справа на Ер(у,
X). Рассмотрим предел выражения Ер1(у, Х)Х ХИР(у, Х)Ер(у, X) при у-)-оо,
где матрица Vp(y, X) введена в § 2:
Vp=X*V, + XV1+V"iP (10.2)
(см. формулы (2.4) - (2.8) и (2.11)). В силу граничных условий
(8.1) последнее слагаемое в (10.2) исчезает при у-"-оо, а первые два
слагаемых превращаются в матрицу -XU_(X) (см.
(8.3)). Из дифференциального уравнения (8.7) и явной формулы (8.9) для
матрицы Ер(у, X) получаем, что
ЕГр1 (у, X) Д (X) Ер (у, X) = Ер1 (у, X) АЕр (у, X) --<г8. (10,3)
dy 2
Таким образом, предельный переход в (10.1) приводит к уравнению
(х, X) = Ир (лг, X) Т_ (х, Х)~^Т_ (х, X) <r8. (10.4)
и* 2
Аналогичным образом рассматривается предел у-*-+ оо; получаем, что
матрица Т+(х, X) удовлетворяет тому же дифференциальному уравнению, что и
Т-(х, X).
Вторым предельным переходом получаем эволюционное уравнение для
приведенной матрицы монодромии
±Тр(Х) = ^-(о3,Тр(Х)], (10.5)
at 1
§ 10. КОНЕЧНАЯ ПЛОТНОСТЬ. ВРЕМЕННАЯ ДИНАМИКА 71
а сравнение эволюционных уравнений для столбцов Т{-(х, к) и TV (х> k) при
к=к] дает дифференциальное уравнение для коэффициентов перехода
дискретного спектра
-j-7/ = - &А/7/. / = 1. .... п. (10.6)
at
Заметим, что эти уравнения отличаются от аналогичных уравнений (7.4) и
(7.10) лишь заменой а2 на kk.
Из (10.5) и (10.6) получаем, что зависимость от времени коэффициентов
перехода дается формулами
ар (к, t) = ар (к, 0), Ьр {к, t) = e~ikhtbp (к, 0),
(10.7)
7/(0 = (0), / = 1, ..., п.
Итак, мы убедились, что и в случае граничных условий конечной плотности
при переходе от функций ф(х), гф (л:) к коэффициентам перехода и
дискретному спектру
(Ф (X), ф (*)) * (Ьр (к), ЬР (ку, kj, V/, / = 1, ..., П) (10.8)
происходит существенное упрощение динамики. В следующей главе мы
исследуем обратимость отображения (10.8), а в гл. III изучим его с
гамильтоновой точки зрения.
Перейдем теперь к обсуждению интегралов движения. Из
(10.7) следует, что производящей функцией для них является
коэффициент ар(к). Покажем, что, как и в быстроубывающем случае, функция
In aQ(k)e~ie/2 является производящей функцией локальных интегралов
движения. Для того чтобы использовать результаты § 4, будем считать, что
ф (лг), ф(х) получаются пределом L->-оо из функций фД*), фь(х),
удовлетворяющих условию (1.6):
Фа (х + 21) = \>L (х), Фа (х + 21) = e~iexpL (*) (10.9)
и дополнительному соотношению
Фа (*) \x=-l = Фа (х) \x=-l = р (10.10)
(сравни с § 1).
Рассмотрим сначала предельный переход L->-оо в производящей функции pL
{k)
Pl (Л) = arccos у tr TL (k) Q (0). (10.11)
Вспоминая, что bQ(k) является функцией типа Шварца при U| ->оо, из (8.44)
и явной формулы (8.9) для Ер(х, к) получаем, что при L->оо и к из iR" с
точностью 0(|Я|_") выполняется
72
ГЛ. I. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ НУЛЕВОЙ КРИВИЗНЫ
соотношение
tr Tl (к) Q (0) = e~ikLap (к) + eikLap (к) + о (1) =
= 2 cos (- kL + argap {к)) + о (1), (10.12)
где в последнем равенстве мы учли, что
