Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
мч=0(ш)' <97)
Обсудим теперь возможное поведение коэффициентов ар(^) и ЬР(Х) в
окрестностях точек Я = ±со. Из (9.1) следует, что если столбцы (х,
X) и Т(+ (х, X) при Я=со или Х = -со (т. е. при
k=0) линейно независимы, то коэффициент ар(Х) сингулярен и представляется
в виде
Яр(*)к"*и = -^-+°(1). (9-8)
где а± отличны от нуля. Именно это реализуется в ситуации общего
положения. В специальной ситуации, когда столбцы 'Т-} (х, X) и Т+)(х, X)
при Х = а> или X - -со становятся линейно зависимыми, коэффициенты а+ или
а- или оба исчезают и функция ар(>.) не сингулярна в окрестности
соответствующей точки ветвления. В теории рассеяния принято говорить, что
в этом случае А=со или Х = -о) или оба эти значения являются виртуальными
уровнями.
Коэффициент ЬР(Х) сингулярен или регулярен в окрестности А = ±со
одновременно с ар(Х). Действительно, при Я = ±со матрицы Т±(х, X)
вырождаются, так что столбцы Т (±(x, ±со) и Т(? (х, ±<в) пропорциональны.
Из асимптотик (8.20) и (8.21) и "определения Ер(х, X) (формулы (8.9))
следует, что
Т+} (х, ± со) = ± iT(+ (х, ± со). (9.9)
§ 9. КОНЕЧНАЯ ПЛОТНОСТЬ. КОЭФФИЦИЕНТЫ ПЕРЕХОДА 63-
Сравнение формул (9.1), (9.2) и (9.9) показывает, что если а+ или а_
отличны от нуля, то
ifl.
МЩ.ж±а = +-^ + °(1). (9.10).
В частности, при этом условии
lim = • (9.11)
bp (А,)
Уместно подчеркнуть, что именно появление лакуны в непрерывном спектре в
случае граничных условий конечной плотности привело к некоторому
усложнению аналитических свойств коэффициентов перехода по сравнению с
быстроубывающим случаем.
Инволюция / на Г связывает значения коэффициента ар(Х) в полуплоскостях
±1тЯ>0 листа Г+. Именно, из (8.39) и (8.40) следует, что
ap(X)=ap(J(X)). (9.12)
Кроме того, эта инволюция позволяет связать значения ар(Х) и ЬР(Х) на
верхних и нижних берегах разрезов на листе Г+:
йр(К -I-г0) ^ар(X-tO), bp(X-\-iO)^-bp(X-i0), (9.13)
где X вещественно, | К | >- со. Последняя формула вытекает из-
(8.41). Предельным переходом отсюда получаем, что коэффициенты а± - чисто
мнимые.
Как и в быстроубывающем случае, имеют место интегральные представления
ОО
аР (^) = cos + i -j- sin ~ ^ (х) еikxdx -\-
0
оо
+ eikxdx +
и О
И
оо
ЬР (X) = i j Pi (х) eikxdx +
-оо -оо -оо
(9.15>
Для вывода следует перейти к пределу х->+ оо в формуле
(8.43) и использовать представление (8.14) и уравнения (8.18),
(8.19) (сравни с § 6). Функции а,(х), РДх), /= 1, 2, 3, вещественны в
силу (9.13) и являются функциями типа Шварца в окрестности + оо и на всей
оси соответственно. Поэтому коэффициент ЬР(Х) является функцией типа
Шварца при |^|-voo.
- j р2 (х) eikxdx + -j- Г р3(х) eikxdx.
~ j аз (х) eikxdx (9.14)'
¦64 ГЛ. I. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ НУЛЕВОЙ КРИВИЗНЫ
Из представления (9.14) следует, что при |Я|-"-оо функция ар(Я) допускает
асимптотические разложения по обратным степеням к или k. Для этого
воспользуемся следующими асимптотическими разложениями на Г+:
k(k) I к") X xsn+1 Vя/
(9.16)
или
x=±k(l + vY =±2т^г(Т <9Л7>
п-о ^ \ /
/4" 1/2 \
где общий знак ± совпадает со знаком 1пД, а через 1
обозначены биномиальные коэффициенты. Интегрируя теперь в
(9.14) по частям, получаем искомые разложения для ар(к). Так,
например, имеем разложения
ар(к) = е^+ 2 "7 + ° (Iй Г")' (9Л8>
1/2
/1/2
лп
ьп 1 К
где 1шХ>0, и
Op (к) = + 2 + о (I k р), (9.19)
"=i ^
где 1т>.<;0, которые согласованы с инволюцией (9.12).
Как и в быстроубывающем случае, нули коэффициента ар(к) при к вне Кы
соответствуют дискретному спектру вспомогательной линейной задачи (8.6),
которая эквивалентна спектральной .задаче:
gF=}-F, (9.20)
где
S = io3 -- + i Y* (фо_ - фо+). (9.21)
dx
.Действительно, если ар(Я) исчезает при к=к/, то столбцы ТУ (х, Я) и Г+2)
(х, к) становятся линейно зависимыми:
7'1!,(хД,) = Т/7'';)(хД/) (9.22)
и при к вне [R о, экспоненциально убывают при х->-оо и х-v + oo
соответственно. Тем самым уравнение (9.20) имеет столбец-решение,
экспоненциально убывающее при |x[-voo.
При х>0 и наших граничных условиях оператор 3? формально самосопряжен,
так что его собственные значения, а тем са-
§ 9. КОНЕЧНАЯ ПЛОТНОСТЬ. КОЭФФИЦИЕНТЫ ПЕРЕХОДА 65
мым и нули ар(Я), вещественны. В силу соотношения нормировки (8.47) эти
нули могут лежать лишь строго в лакуне -со<; <Я<;со. В самом деле, мы
имеем либо [ар(со)[ = оо (общий случай), либо |ар(со)|<;оо (виртуальный
уровень), и тогда по соотношению нормировки [ар((о)[>1; то же верно и для
Х = =-со. В частности, отсюда следует, что число нулей- коэффициента
ар(Х) конечно; мы обозначим их через М, ..., Хп-
Покажем, что эти нули простые. Пусть %}-нуль ар(Х), лежа-
do
щий в лакуне. Мы докажем, что -- не исчезает при Х=Х;. Из
d\
представления (9.1) и условия ap(Xj) = 0 имеем
"р (*/) = 2kjC-k.) (det {f~ (Х'Х,)' '{Х'Х,)) +
+ det (Т? (х, Xj), Tf (х, X,))), (9.23)
где точка обозначает производную по X. Столбцы г!1' (х, X) и Т|2) (х, X)
удовлетворяют уравнению (8.6), так что столбцы Т(tm) (х, X) и Т(+ (х, X)
соответственно удовлетворяют уравнению
