Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
уравнениями (4.68), совпадают после замены U(х, Я) '^U(х, A) AP2_P*.
Введенные в § 1 пуассоновы подмногообразия См.м скобки Ли - Пуассона { ,
}0 являются пуассоновыми и для скобок Ли - Пуассона { , }р при р =-
Формулы для соответствующих скобок Ли - Пуассона можно получить из
(4.66), если положить в них иаЛ= 0, k^N, k<-М. Формула (4.69) показывает,
что гамильтоново уравнение (4.68), записанное как уравнение нулевой
кривизны, удобнее рассматривать на фазовом пространстве Сд/_р> М+Р.
Соответствующие элементы Up(x,X) в этом случае имеют одинаковый вид:
А'-1
иР(х,Х)= 2 uaPl(x)Aal-k~\ (4.74)
k=-M
и фазовые пространства естественно отождествляются. В следующем параграфе
мы убедимся на примере модели НШ, для которой Л^=0, М = 2, что семейство
скобок { , }р естественно' порождает Л-оператор и иерархию пуассоновых
структур,, введенную в § III.5 части I.
4. Геометрическая интерпретация процедуры одевания. Процедура одевания
общего уравнения нулевой кривизны
+[Н(А), Н(А)] = 0 (4.75)
dt дх
была изложена в § 1.6 и состояла в следующем: по исходным данным U(x,t\X)
и V(х, /; А)- рациональным функциям Я со значениями в алгебре Ли g группы
Ли G, удовлетворяющим уравнению (4.75), мы строили новое решение Us(Я) и
1/в(А) уравнения (4.75), параметризованное элементом g из группы C(G) -
группы Ли функций g(h) на контуре Г в С со значениями в G. Для этого мы
использовали решение F(x,t,X) совместной системы уравнений
d-^ = U(x,t,l) F, (4.76)
дх
*L = V(x,t,X)F (4.77)
at
и решали при каждом х и t задачу о факторизации
FgF~l (Я) = (FgF-1) + (Я) (FgF~') _ (Я), (4.78)
где функции /г+ (Я) = (FgF~l) + (Я) и /г_ (Я) = (FgF~l)-(l) допускают
аналитическое продолжение соответственно во внутренность и внешность
контура Г. После этого, полагая
pe=h~1F = h_Fg-*, (4.79)
§ 4. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ 487
мы определяли Ug(X) и Vs (к) по формулам
U6 = - (Fg)~1, Vе = - (F*)'1. (4.80)
дх dt
При этом сохранялись и дивизоры полюсов функций U(К) и
У (Л.) или, на нашем новом языке, пуассоновы подмногообразия,
конечномерные при фиксированных х (см. § 1.6 и § 1).
Здесь мы выясним смысл одевающих преобразований как
преобразований на фазовом пространстве ^ ((%)) функций
U (х, I).
Нетрудно убедиться, что для двух последовательных преобразований с
функциями giCk) и g2{h) мы имеем
FSlS*(x,l) = (Fefl(x,l). (4.81)
Действительно, используя оба представления (4.79) и элементарные свойства
(.g+f)-4(gf-)- = g-U, (4.82)
получаем
(Fg^ = (Fe'g1F?i)_ Fs'gl1 =
= ((FgiFy*1 fSiSif 1 (FgoF1)-1).(Fg^F'1) Fg^gi1 =
= (Fg1g2F~1)_ F (glg2) 1 = Fglg\ (4.83)
Однако соответствующее групповое свойство для элементов фазового
пространства Ug, вообще говоря, неверно. Действительно, функция U но
меняется при правом умножении F^Fg, которое не коммутирует с описанным
действием группы C(G) F^-Fs. Эту ситуацию можно исправить, фиксируя
значение функций F(x, К) в одной точке х, например, при х=-L:
Р(хЛ)\х=^ = 1. (4.84)
Модифицированное одевание
F* = K?Fh+ = h_Fhl1 (4.85)
сохраняет граничное условие (4.84), но уже не является действием группы
C(G).
Замечательно, что существует группа, для которой формула (4.85) задает
групповое действие. Как множество она совпадает с C(G), но имеет другой
закон умножения
g°f=f+g+g-f-> (4.86)
где g=g+g- и f = f+f- (при условии, что задача о факторизации в C(G)
однозначно разрешима). Эту группу будем обозначать через C0(G), а
подгруппы, порожденные элементами g+ и g-,-
через C+(G) и C_(G). Эти подгруппы коммутируют в C0(G), и
488
ГЛ. IV. ЛН-АЛГЕБРАИЧЕСКИИ ПОДХОД
закон умножения в каждой из них имеет вид
g+°f+ = f+g+> g-°f-=g-f~ (4.87)
Сравнение с формулами (1.22) - (1.23) показывает, что алгебры Ли групп
C0(G) и C±{G) совпадают (с точностью до обращения знака у коммутатора)
соответственно с введенными в § 1 алгебрами Ли С0(д) и С±(д).
Проверим, что формула (4.85) задает действие группы C0(G).
Соответствующая выкладка практически аналогична (4.83):
(Ff=(FgFr:)_l^ =
= ((FfF rSFr+gLF1 (FfF-'r-UFfF-1). FfZ1gl1=
= (Ff+g*gJ-F'1)--F(gjy1= Feaf. (4.88)
Формула
Us (x, X) = - F'e(FT' = - h hZ1 + h UhZ1 = Ad*A_ ¦ U (x, I) (4.89)
dx dx
(сравни с (4.41)) переносит это действие на фазовое пространство
%"'((%)). Более того, преобразование U^Ue действует только в некотором
расширении пространства C((g)), поскольку оно, вообще говоря, нарушает
условие периодичности. Мы не будем здесь давать соответствующих
уточнений.
Уместно сравнить формулы процедуры одевания (4.78), (4.89) с формулами
(4.16) - (4.17) для решений уравнений движения в общей схеме п. 1. Они
практически совпадают по виду, но факторизуемые матрицы в (4.78) и
(4.16), на первый взгляд, различны: в процедуре одевания участвует
произвольная функция g(X), подобно преобразованная при помощи решения
уравнения вспомогательной линейной задачи F{x, Я), а для решения
уравнений движения мы факторизовали функцию ехр{-tVf(U(x, X,))}, где f(U)
- элемент алгебры Казимира Однако можно показать, что
