Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
помощи задачи о факторизации. В основе описанной схемы, по существу,
лежит лишь одна формула - разложение исходной алгебры Ли в линейную сумму
двух подалгебр.
2. Центральное расширение алгебры Ли ^(д) и уравнение нулевой
кривизны. Рассмотрим алгебру Ли ^(д) функций |(л:) со значениями в
конечномерной алгебре Ли д. Для определенности будем считать, что функции
|(л:) удовлетворяют периодическим граничным условиям
1(х+2Ь)=Ъ(х). (4.29)
Алгебра ^(д) задается генераторами Ха(х), -L^.x<L, с коммутатором
[Ха (х), Хь (у) ] = СсаЬХс (х) б (х - у) (4.30)
(сравни с формулой (1.34)).
Будем считать, что алгебра Ли g допускает инвариантную билинейную форму
(,), и введем центральное расширение алгебры Jlu 'fe'(g) при помощи 2-
коцикла Маурера-Картана
L
"(?> Tl) = J W/ dx. (4.31)
-L
Элементами алгебры Ли W (д) являются пары |=(|(л:), о), где |(а")-элемент
из W (д), а о - комплексное число, с коммутатором
[I Л] = ([&(*). Л(*)],ю(5,Л)). (4.32)
Тождество Якобн для коммутатора (4,32) выполняется ввиду свойства 2-
коцпкла
о>([|, г|], ?)+<в([?, |], г|)+со([г|, ^], |)=0, (4,33)
которое следует из (4,31) при помощи интегрирования по частям
с использованием инвариантности формы (,), Элементы вида (0, о) образуют
центр в 'g'(g).
Генераторами алгебры Ли ^(д) являются Ха(х) и / с коммутационными
соотношениями
[Ха (х), Хь (у)] = ССаьХе (х) 6 (X - у) + КаЬ& (X - у) I, (4,34)
[*а(*),/] = 0 (4.35)
§ 4, ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ 48f
(сравни с (4,30)), где бД*-у) означает производную б-функцнн б(х-у) по
аргументу. Здесь
КаЬ = {Ха, Хь), (4,36)
где Ха-генераторы алгебры Ли д.
Двойственное пространство ^'(д) к алгебре Ли ^(д) образовано элементами й
с координатами (иа(х), с); соответствующее спаривание имеет вид
L
и (I) = (и, l) = ^ua (X) Iй (-V) dx + со. (4,37)-
-L
В коприсоеднненном представлении алгебры Ли Ч? (д) элементы центра
действуют тривиально, поэтому асГ-действие (д) редуцируется к
действию 'g'(g), которое будем обозначать тем же
символом. Имеем по определению
ad*?-и(х) = [CCabUc (х) t (х) + сКаь , 0 ) > (4.38)'
где %(х) = 1а(х)Ха. Считая, что матрица Каъ невырожденна (что мы будем
предполагать в дальнейшем), действие (4,38) можно записать в элегантном
виде
(ad*? ¦ U) (х) = c^ + ll(x),U(x)], (4,39)
dx
вводя для любого элемента й= (иа(х), с) из ^'(д) функцию U(х) со
значениями в д
U(x)=Ua(x)Aa, А"=КаЪХъ (4,40)
(сравни с (4,14)), Последняя формула задает отождествление двойственного
пространства ^*(д) с ^(д).
Действие ad* алгебры Ли 'ёДд) поднимается до действия группы Ли ^(G),
состоящей из периодических функций g(x) со значениями в группе Ли G;
(Ad*g • U) (х) = с g'1 (х) + g(x)U (х) g'1 (х), (4.41)
ах
которое представляет собой расширение обычного действия Ad*
(преобразований подобия).
Уместно сравнить последнюю формулу с калибровочным преобразованием,
введенным в § 1,2 части I, Это сравнение показывает, что элементу й=
(иа(х), с) удобно сопоставлять дифференциальный оператор
L = с - - U (*). (4.42)
dx
482 ГЛ, IV, ЛИ-АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ ПОДХОД
Действие Ad* группы 9? (G) тогда дается формулой
Kd*g-L=g(x)Lg-l(x), (4.43)
где правая часть понимается как композиция операторов умножения на
функции g{x) и g~l(x) с дифференциальным оператором L. "Матрица"
монодромии
L
7*(") = ехр-1 U(x)dx (4.44)
с J
-L
является функционалом на '(РДд) со значениями в G и преобразуется под
действием Ad* следующим образом: T>-+g (L) Tg~' (L) (где мы учли
периодичность функции g(x)). Поэтому инварианты конечномерного действия
Ad группы Jlu G
Ad g-T=gTg~i (4,45)
являются инвариантами действия Ad* группы Ли 92 (G) и порождают алгебру
функций Казимира I (92(g)) алгебры ^(д). Действительно, если матрицы
монодромии Г(ц,) и Т(й2) подобны в G
T^) = gT(u1)g'\ (4.46)
то функция
g (х) = F2 (х) gF? (х), (4.47)
где
/,,/?, (*)=(), LzFz(x)= 0 (4,48)
и
FAx)\x=.l=F2(x)\x_l=I, (4.49)
периодична - принадлежит группе Ли 92(G) и
Ad *g-Ut(x) = Ut(x). (4,50)
Предположим теперь, что алгебра Ли g допускает разложение (4,1). Тогда мы
можем в рассмотрении п. 1 заменить g на 92(g). Именно, в соответствии с
(4.1) разложим алгебру Ли ^(д) в линейную сумму двух подалгебр
Я?(д)=Я?+(д)+Я?_(д), (4.51)
где 92 ± (д) =92 (д±), и определим на 9? (д) вторую структуру алгебры Ли,
положив
[ (?(*), о), (г|(х), т) ]0 = ([!+(*), ri+(x) ]-
- [?_(*)> т(_(ас) ], со(|+, Г1+)- со(|_, ri_)), (4.52)
где ?(*) = ?+(*) +|_(лг), ц (х) =г|+ (х) -(- г|_ (ас) . Соответствующую
.алгебру Ли обозначим через ^(й). Она получается из алгебры
§ 4, ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ
483-
Ли ^0(0) с коммутатором
UM, T|M]o=[tf|M, TlMl + UM, ЯпМ] (4.53)
(сравни с (4,4)), где оператор R порождается разложением
(4.51) по формуле (4,3), при помощи центрального расширения-c. 2-
коциклом
ffloU, г|)=со(R%, r|)+co(|, Rr\). (4,54)
На фазовом пространстве ^?*(0) введем скобки Ли-Пуассона {,}0 и
рассмотрим гамильтоновы уравнения движения
§ = {f,u}" (4.55)'
где и=(иа(х), с), a f(u) принадлежит Сопоставляя
