Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
(4.32) - (4.34) привело бы к неправильной временной динамике
коэффициентов перехода.
§ 4. ПОЛНАЯ ИНТЕГРИРУЕМОСТЬ МОДЕЛИ ТОДА 441
Для локальных интегралов движения /" из тождеств следов (2.100) получаем
следующие выражения:
1п= (Ч^-р(0)d0 + - 2 (2/-д"). (4.43)
.! sin 0 п ' '
о /=1
так что они зависят лишь от переменных р(0) и Из этих формул следует, что
функционалы /2Т1+1 являются недопустимыми. Действительно, уравнения
движения
Эф(0) _{/2/г+1)ф(0)} (4.44)
dt
имеют вид
дф (8) _ cos (2п +1)9 4{-,
dt sin 0
(дополнительное слагаемое в скобке Пуассона (4.32) не дает вклада в
(4.44)), и их решение
Ф(0, 0 = Ф(9, 0) + c--(2nt1)flf (4 46)
sin 0
при ^>0 сингулярно при 0 = 0 и 0 = я, и, тем самым, динамика, порожденная
/2"+1, выводит из фазового пространства Жс. В частности, это еще раз
показывает недопустимость функционала Р= -/,.
Функционалы /2" являются допустимыми и отвечают наблюдаемым на фазовом
пространстве Жс. Порождаемые ими уравнения движения в переменных р(0),
ф(0), р], q, имеют вид
¦Ш- = {/", ф(8)} = = _ 1*(tm). , (4,47)
dt sin0 sin0
= V-.n, ?/} = ------5(4.48)
dt г,-г, г}-г, г, - г,
(где дополнительные слагаемые в (4.32) - (4.33) уже дают вклад), и
временная динамика коэффициентов перехода дается формулами
b (г, /) = exp |(z *j Ь (z, 0), (4.49)
V/ (0 = ехР (--^=1- 4 V/(0), j = 1.....Л7. (4.50)
I г, - г, J
При л=1 отсюда получаем (после обращения знака времени) знакомые
выражения (2.86) - (2.87).
442
ГЛ. III. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ НА РЕШЕТКЕ
Не следует думать, что "половина" локальных интегралов движения являются
недопустимыми. Действительно, величины
Г" = п>\, (4.51)
где /0= -с, уже допустимы. Они представляются в виде
Я
7п= Г.с:У:;9..^,;-'2)9 р(9)г/9 + J sin 0
N / zn,-z-,n znr' - z'rn /=1
cos n0 - cos (n - 2) 0
и подынтегральное выражение ---------------------------------------------
--уже несингу-
sin 0
лярно при 0 = 0 и 0 = я. Поэтому функционалы Тп отвечают наблюдаемым на
фазовом пространстве J#c, и при написании порождаемых ими уравнений
движения можно не учитывать дополнительные слагаемые в (4.32) - (4.33).
Аналогичную регуляризацию мы проводили для модели НШ в случае конечной
плотности. Единственной величиной, не допускающей такую регуляризацию,
является функционал Р (сравни с § III.9 части I). Гамильтоновы уравнения
движения
^Рп __ f'p . . . . -п.
- = {h,Pn}, -- = {h,qn}, я = - ос, .. . , оо, (4.53)
at at
естественно называть высшими уравнениями модели Тода. Все эти уравнения
являются точно решаемыми.
Приведенные результаты позволяют утверждать, что модель Тода и все ее
высшие аналоги являются вполне интегрируемыми гамильтоновыми системами.
Переменные р(0), ср(0), р} и ф фактически играют для них роль переменных
типа действие - угол.
В регуляризованных интегралах движения I, естественным образом видно
разделение мод. Так, для Я=-Т2 = Н-с имеем выражение
я N
И = 2 Г sin 0р (0) сШ + - ^ (г/2 - П + 2 1п г}), (4.54)
о 2
которое интерпретируется в виде суммы по независимым модам. Мода
непрерывного спектра с номером 0 имеет положительную энергию
/i(0)=2sin0, О^0^я, (4.55)
а мода дискретного спектра - солитон - имеет также положительную энергию
h(z) = -^-z~2-~z2 "I- In 22, -1 <z<C 1. (4.56)
§ 4. ПОЛНАЯ ИНТЕГРИРУЕМОСТЬ МОДЕЛИ ТОДА
443
Ч. Динамика солитонов. Скобки Пуассона (4.32) - (4.33)
показывают, что, вообще говоря, динамика солитонов не отщепляется
гамильтоновым образом от динамики мод непрерывного спектра. Другими
словами, связь р(0)=О не согласована с этими скобками Пуассона. Однако
(сравни с моделью НШ в случае конечной плотности в §111.9 части I) для
уравнений движения, порожденных регуляризованными функционалами 7), в jV-
соли-тонном подмногообразии фазового пространства можно ввести новое
гамильтоново описание. Именно, на фазовом пространстве с координатами pjt
qh /= 1 N, с единственными ограничениями \pj\ >2 и пуассоновой структурой
{ри д,} = 6ф i, /= 1 N,
гамильтонианы
'(sol)
= h I
.0.0;-)
(4.57)
(4.58)
порождают динамику, совпадающую с динамикой солитонов по высшим
уравнениям модели Тода.
Гак же как и для модели НШ в случае конечной плотности, рассеяние
солитонов, задаваемое формулами (3.67) - (3.72), не описывается
каноническим преобразованием, если мы будем
считать, что асимптотические переменные р}, q}
(±> -
д±Дд, где
Ад
2 1п
vk<vj
1 - zjzk
2 in
vk>vj
1 - zjzk
zi - zk
(4.59)
имеют те же скобки Пуассона, что и ph д.
Действительно, для двухсолитонного рассеяния имеем при Pi>[h _____
_______
I РЛ + - 4 Yp а -4 - 4 |
Ад =- Ад = In ¦
2(Pi - Pi)
(4.60)
и это выражение, очевидно, не является функцией только от разности pt-рг.
Это означает, конечно, что априорное предположение о каноничности набора
переменных р}, q'fl) неверно. Вопрос о корректном выборе канонических
асимптотических переменных для динамики солитонов (а также и для мод
непрерывного спектра) требует особого исследования и выходит за рамки
этой книги.
Разобранный пример модели Тода показывает, что метод обратной задачи
