Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
1 -22 (2 -2') (22'- I)
"nr, Z2'a'2, 2't
0 0 0 V. p. )
(2 -2') (22'- Г
(4.10)
a
cs(z,z') =--------(ZZ'~ 1)2, P(z,z') = (z~zT ,¦ , (4.11)
(1-z3)(l-z') ' (1 - z2) (i - z' ) V 7
так что
a(z, z'\ + $(z, z') = 1, (4.12)
и в силу инволюций (2.21) и (2.47) мы считаем, что |г| = |г'| = 1,
Imz, Imz^O, причем z, г'Ф ±1\ 6-функция 6(zz/'1) определя-
ется естественным образом:
j 6(zz'-l)t(z')^ = f(z). (4.13)
|2'|=1
При выводе формул (4.10) - (4.11) мы также использовали соотношение
--1 . П
lim v. р. --)-=zfinib(zz't), (4.14)
Л->±оо 1 - ZZ
где \z\ = \z'\ = 1.
438 ГЛ. III. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ НА РЕШЕТКЕ
Из формулы Сохоцкого - Племеля
1 1 • 1 1 , . 6 (zz' ') , . , С\
- = lim - = v. р. + ш-------------------------- (4.15)
И<1
и (.4.7) - (4.11) получаем следующие выражения для скобок Пуассона
коэффициентов перехода и дискретного спектра:
{a(z), a(z')} = {a(z), a(z')} = 0, (4.16)
{h(z),b(z')} = 0, ' (4.17)
{b (г), Ь (г)} = 2л i г|а(г) |2- 6 {zz'"), (4.18)
1 - Z2
{а и. Ь (/" = ~ ¦1|1':1'1 6 <*'> . (4.] 9;
(ze °-г ) (1 - zz ) (1 - z2) (1 - г )
{а(г), b{z')) + (4 20)
V ' (ze~° - г') (1 - zz') (1- z2) (1-z'r) V
И
zz - ((1 - zz,)2 + (z - z,)2) a (z) y ,
{a (2), y,.} = -^--------------------------'i-2^------------------------
¦¦ , (4.21)
(z - Zj) (1 - zz.) (1 - z2) (1 -Zp
{&(г),г/} = {г"(г),7/}=0, (4.22)
fa, z,} - {"ft, у/} = 0, (4.23)
{zi, у/} = - -1--7/6,7, г, / = 1, . .. , A\ (4.24)
1 ~z;
При этом, благодаря аналитичности функции а(г), формулы (4.19) - (4.21)
справедливы и при |г|<1.
Как и в случае модели НШ, получим отсюда набор независимых переменных с
простыми скобками Пуассона. Именно, рассмотрим формулы (4.19) и (4.21)
для |z\с 1, устремим \z\ к 1 и отделим в них соответственно мнимую и
вещественную части. Мы получим, что при \z\ = \z'\ = 1, Im2^0, lmz'>0,
{In | а (г) ], arg b (?')} =----------------+ (6 (z) + 6 (- 2))
(4.25)
1 -Z2 1 -Z
TCIZ t
{in I a (z) I, ln I yi |} = --L (6 (г) + б (- г)). (4.26)
1 ~Z1
Слагаемые с 6(±z) в этих формулах порождаются сингулярным знаменателем
(1-г2)-1, присутствующим в (4.19) и (4.21);
§ 4. ПОЛНАЯ ИНТЕГРИРУЕМОСТЬ МОДЕЛИ ТОДА
439
6-функция S(±z) понимается следующим образом:
|б(±г)/(г)^ = |/(± 1), (4.27)
с
где С - полуокружность \z\ = \, 0=^arg г^я. (Сравни с аналогичными
формулами в § III.9 части I.)
Введем набор переменных
р (0) = ?11(r)-in (1 -\-\Ь (е'0)|2), ф(0) = - arg& (е'0), 0<9<я, д
(4.28)
Pi = h = zi+ - . ?/ = b|v/|, /=........1.......N, (4 29)
z/
со следующими областями значений:
О^р(0)<°о, О^ф(0)<2я, (4.30)
\pi\>2, -оо<<р<оо. (4.31)
Используя формулы (4.24) - (4.26), убеждаемся, что эти переменные имеют
следующие неисчезающие скобки Пуассона:
{р (0), Ф (0')} = 6 (0 - 0') - (6 (в) + 6 (0 - я)), (4.32)
Sin о
{р (9), ?/} = - ¦2!n6,Z/- (6 (0) + б (0 - я)), (4.33)
г! 1
{Pi, ?/} = в</. 1. / = 1....N. (4.34)
Эти скобки Пуассона имели бы канонический вид, если бы в правых частях
(4.32) - (4.33) отсутствовали слагаемые, пропорциональные sin 0(6(0)+6(0-
я)). Эти дополнительные слагаемые следует интерпретировать в том же
смысле, что и в §111.9 части I. Их необходимо учитывать каждый раз, когда
мы имеем дело с функционалами вида
Я
F<P)=[ 4^-/(0)^0, (4-35)
J sm о
о
где f(Q) -гладкая функция при Ог^Ог^я, f (0) =f (п)=?0. С такими
функционалами мы встретимся в следующем пункте.
3. Гамильтонова динамика и интегралы движения в переменных р(6). ф(6).
ру" 9/. Введенные переменные можно рассматривать как координаты на
фазовом пространстве Мс, в терминах которых пуассонова структура (4.2)
записывается в виде (4.32) -
(4.34). Однако они не являются полностью независимыми.
440 ГЛ. III. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ НА РЕШЕТКЕ
Именно, имеет место условие (с):
0
Кроме того, в случае общего положения величина ¦ р ^ ПрИ 0_>_
sin 0
->-0, я имеет особенность типа In---!-, а значения ср(0) и ср(л)
| si п 0 |
фиксированы и равны 0 или я в соответствии c. формулами (2.76). В случае,
если 0 = 0 или 0 = я или оба эти значения являются
Р (9)
виртуальными уровнями, то величина -- в этих точках ко-
sin 0
нечна, а ср(0) принимает значения 0 или я.
В качестве иллюстрации убедимся в том, что хотя правая часть в (4.36)
зависит, на первый взгляд, от динамических переменных р(0) и р}, на
самом, деле она находится в инволюции с переменными ср(0) и qs (сравни с
§111.9 части I). Действительно, из (4.32) - (4.34) имеем
Jt
{с, ф (0)} = i- + -±- Г (б (0') + 6 (0' - я)) d0' =0 (4.30
sin 6 sin 0 J sin 0
0
и
{с, 4i) = -4^- - {In г), q,) =0. (4.38)
z/" 1
Покажем теперь, что переход к новым переменным тривиали-зует динамику
модели Тода. Гамильтониан Н и уравнения движения записываются следующим
образом:
<4-39>
дРЖ = {Н,р(Щ = 0, ^L = {H,P,} = 0, (4.40)
*^L = {H, ?(0)} = _i^. + _!_=2sin0, (4.41)
ot sin 0 sin 0
dq; ~ 2^+1 2Zf i i \
-=<//, 9/,=_T_^-__-=-(^--) "¦">
и тривиально решаются. Ответ эквивалентен формулам (2.86) - (2.87).
Подчеркнем, что игнорирование дополнительных слагаемых в скобках Пуассона
