Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Если дивизоры U и 33 пересекаются, то в их общих точках пол-його
упрощения не происходит, В этом случае аналогичная кон-
§ 7. СХЕМА ПОСТРОЕНИЯ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ
309
струкция дает частичное разделение переменных и понижение порядка в
уравнении (7.1).
В качестве примера рассмотрим представление нулевой кривизны для модели
главного кирального поля из § 3. На первый взгляд (см. формулы (3.37) -
(3.40)), в ней нет разделения дивизоров U и 93, так как они просто
совпадают. Однако это разделение происходит в координатах светового
конуса
1 = (7-23) в которых уравнения движения имеют вид
gig _ 1 (dg dg t dg dg \ ^ ^7 24^
djdr| 2 \ dg dr| <?r| dg
Действительно, операторы ковариантного дифференцирования
д А (?, и) д В (?, и)
в этом случае принимают вид ---- и ---- ,
d^ 1 ^ 1 -р я
где
A = l0 + lx = dig~\ B = l0-lt = %-g-\ (7.25)
dl <?n
Матрицы U(l, ц, К) и V(I, ц, Я), где
U(X)=-А-. У (*)=_* (7.26)
1 "* К 1 -р А
удовлетворяют уравнению нулевой кривизны dU (I) dV (к)
[i/(b), V (>01 = о, (7.27)
к которому уже может быть применена процедура раздевания, состоящая в
построении матриц ?Л(|, л) и У-Дц, X). Оказывается, что имеют место
соотношения
Ui (&Д) = 4*Чг' = (7-28>
1 - К 1 -р А
т. е. матрицы UY ц V~t строятся по начальным данным на характеристиках т]
= 0 и ? = 0 соответственно.
Для доказательства рассмотрим, например, уравнение (7.5) при v = 1
F(l, п, Я)=Р1(|, ц, Л.) Qt(g, л. F) (7.29)
и покажем, что
F(l, 0, X) = Qt(i, 0, I). (7.30)
Первая формула в (7.28) непосредственно следует из этого равенства и
уравнения
' ^- = t/(|,Tbb)F. (7.31>
310
ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПРИМЕРЫ И ИХ ОБЩИЕ СВОЙСТВА
Для доказательства формулы (7.30) достаточно убедиться, что функция F(I,
0, Л) не имеет особенности при Х = -1. Но это-очевидно следует из
дифференциального уравнения (7.31) при ц = 0 и начального условия
^(S, ОД)|?=0 = /. (7.32)
Аналогично доказывается вторая формула в (7.28).
Для построения общего локального решения модели главного кирального поля
мы должны проделать следующие операции.
1. Построить матрицы
?
Fj (IД) = elTp j U, (?', X) dl' (7.33>
0
И
Д1(пД) = ехр^ K.iOV, X)dx\', (7.34)
0
т. е. решить две системы обыкновенных линейных дифференциальных уравнений
первого порядка.
2. Определить матрицу F (?, ц, X) по ее главным частям Fid, ПРИ ^=1 и ^-
Дтр X) при Х= -1. Это можно сделать с помощью задачи Римана
Fid, b) = Gid, Л. ВДЕ, л, *) (7.35)
при | А- 11 = е и .
F-i(r], A,) = G_i(&, т], X)Fd, Л- М (7.36)
при | А,Н-11 = е, где функция F d, Л- аналитична во внешности к указанным
окружностям и нормирована на I при А = °о. Тогда решение уравнения (7.24)
с начальными данными для токов А (|) и S(ri) на характеристиках дается
формулой
ё(1, Л) = F&, П. Л,) 1а=0- (7-3Д
Таким образом, мы получили для общего решения уравнения главного
кирального поля аналог представления Д'Аламбе-ра в виде нелинейной
суперпозиции волн, распространяющихся вдоль характеристик. Задача Римана
(7.35) - (7.36) играет роль нелинейного аналога принципа суперпозиции.
Итак, мы убедились, что условие кинематической интегрируемости нелинейных
систем, т. е. возможность их представления в виде уравнения нулевой
кривизны, позволяет описать богатый класс решений этих уравнений: явные
решения типа солитонов в процедуре одевания, локальные решения общего
вида в процедуре раздевания и т. д. Можно продолжить эксплуатировать
уравнение нулевой кривизны для дальнейшего исследования порождаемых им
нелинейных систем. Например, с его по-
§ 7. СХЕМА ПОСТРОЕНИЯ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ
311
мощью можно строить набор интегралов движения, понимаемых в обычном (не
обязательно гамильтоновом) смысле как сохраняющиеся на уравнениях
движения функционалы.
Действительно, в силу периодических граничных условий
(7.38)
(7.39)
(7.40)
(7.41)
(сравни с § 1.2 части I), поэтому ее инварианты - функционалы 1г7'*(л),
где k=\, ..., п (п - размерность вспомогательного пространства), являются
производящими функциями для интегралов движения. Локальные интегралы
движения получаются из асимптотических разложений этих функционалов в
окрестности полюсов по переменной X матрицы U(х, t, а). Пример такого
разложения уже был разобран в части I; с другими примерами мы
познакомимся в следующей главе. Подробное рассмотрение процедуры
построения локальных интегралов движения в общем случае слишком громоздко
и не очень поучительно, чтобы его приводить здесь.
В случае моделей на решетке аналогичную матрице TL(t, ?i) роль играет
матрица
N
TN{t,X) = 4Ln{t,X), (7.42)
П= 1
с которой мы познакомимся ближе в гл. III.
В части I на примере модели НШ мы убедились, что условие нулевой кривизны
с гамильтоновой точки зрения является вторичным - оно вытекает из
фундаментальных скобок Пуассона, в которых участвует матрица U(х, 1) из
вспомогательной линейной задачи и r-матрица. Рассматриваемые в дальнейшем
модели опять будут гамильтоновыми, и мы опять будем использовать /¦-
матричный формализм. Кульминацией этого подхода будет приведенная в гл.
