Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
дивизоры их полюсов совпадают с U и S3 соответст-.венно. Определим
матрицу F(х, t, X) как решение совместной •системы уравнений
d-^=U(x,t,X)F, (7.2)
дх
d-L = V(x,t,X)F (7.3)
dt
с начальным условием
F(x,t,X)\x^0 = I. (7.4)
Матрица F(x, t, X) является аналитической функцией в области С \U(J23,
имеющей в точках из U и S3 существенные особенности. Опишем удобную
конструкцию выделения главных частей этой матрицы в окрестностях
особенностей.
Рассмотрим семейство регулярных задач Римана, занумерованных точками v из
С с контурами 1\- окружностями малого радиуса ev вокруг точек v. Задача
Римана, отвечающая точке v, состоит в разложении матрицы F(х, t, X) в
произведение
F(x, t, X)=Pv(x, t, X)Q,{x, t,X), (7.5)
где сомножители Pv и Qv допускают аналитическое продолжение
соответственно во внутренность и внешность контура 1\ - окружности |Х-v|
=ev, и нормирована условием
= (76'
При достаточно малых х и t эта задача Римана однозначно разрешима,
поскольку в силу (7.4) матрица F(x, t, X) мало отличается от /. Функция
Qv(x, t, X) является главной (сингулярной) частью функции F(x, t, X) при
X=v.
Если точка v не принадлежит дивизорам U и S3, то функция F(х, t, X)
регулярна при X = v, и поэтому для таких v имеем тождественно
Qv(x, t, X) =/. (7.71
Таким образом, из бесконечного семейства задач Римана (7.5) -
(7.6) нетривиальными являются только задачи, отвечающие точкам v,
входящим в U + S3.
Построим теперь отображение
(U(x,t,X), V(x,t,X))~(U*(x,t,X), Vv(x,t,X)), (7.V
сопоставляющее матрицам U(X) и Е(А,) семейство матриц UV(X) м. KV(X),
занумерованное точками v из U + S3. Матрицы UV(X) и
§ 7. СХЕМА ПОСТРОЕНИЯ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ
307
ЯДА) являются рациональными функциями А с полюсами только при A = v и с
кратностями, совпадающими с таковыми для-матриц t/(A) и Я(А)
соответственно; постоянные члены у этих, матриц отсутствуют. При этом
если точка v принадлежит дивизору U, но не принадлежит дивизору 33 (или
наоборот), то матрица ЯДА) (соответственно t/ДА)) исчезает по теореме
Лиувил-ля. Это семейство матриц соответствует разложению дивизоров U и 33
в сумму элементарных дивизоров
U = 2i!,, В = 2В/, (7.9)'
I !
где U,-= {А,-, п{}, 33j= {pj, щ). Явные формулы имеют вид
UV=^QZ\ (7.10).
дх
Vv = ^Q?. (7.11)-
dt
Из уравнений (7.5) получаем, что на контурах 1\ также справедливы
представления
р-* дР
uv = и v = P?UPV - PZ1 , . (7.12)•
дх
Vv = VPvl = PZ'VPr - PZ1- , (7.13):
dt
обеспечивающие сформулироваиые выше свойства матриц-t/Дх, t, X) и ЯДх, t,
X).
Из формул (7.10) - (7.11) следует, что при каждом v матрицы t/ДА) и ЯД/О
удовлетворяют уравнению нулевой кривизны.. При этом, если дивизоры U и 33
не пересекаются, то имеет место-разделение переменных: матрицы t/ДА)
зависят лишь от х, а ЯДА,) -от t. Действительно, пусть, например, точка v
принадлежит дивизору U (но не принадлежит дивизору 33). Тогда матрица
ЯДА) исчезает и уравнение нулевой кривизны сводится к условию
dll.,
-^ = 0. (7.14>
dt
Матрицы ЯДА) рассматриваются аналогично. Случай пересекающихся дивизоров
U и 33 мы обсудим ниже.
Таким образом, отображение (7.8) осуществляет разделение переменных в
уравнении нулевой кривизны. Метод его построения может быть назван
"процедурой раздевания", в противоположность процедуре одевания из
предыдущего параграфа.
Покажем теперь, что отображение (7.8) обратимо. Пусть заданы матрицы
t/Дх, А) и ЯД/, А) с исчезающими постоянными
.308 ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПРИМЕРЫ И ИХ ОБЩИЕ СВОЙСТВА
членами и элементарными дивизорами полюсов Uv и 33V, где для ¦v = ki
UV={A,<, я<}, Sv=0, а для v = p,- Uv=0, SSV= {p,-, щ).
Построим по ним матрицы Fv(x, t, к) как решения совместных си-
стем уравнений
dF
-L = Uv(x,k)Fv, (7.15)
дх
dF
_L=Vv(/,X)Fv, (7.16)
OX
нормированные условием
М*ЛД)| ^=0 = Л (7.17)
и свяжем с ними следующую задачу Римана. Роль контура Г в ней играет
набор окружностей Г" малого радиуса ev с центрами в точках v из U + 33,
где дивизоры U и 33 даются формулами (7.9), а факторизуемая матрица на
компоненте контура 1\ -совпадает с Fv(x, t, к). Другими словами, мы ищем
матрицу F(x, t, к), аналитичную во внешности контура Г и участвующую /в
разложении
Fv(x, t, k)=Gv(x, t, k)F(x, t, k), (7.18)
где функция Gv(x, t, X) допускает аналитическое продолжение .во
внутренность контура Г,. При этом
F(x, t, k)U=" = I. (7.19)
Эта задача однозначно разрешима при малых х и t.
Введем матрицы
U(x,t,k) = ~F~\ V(x,t,k) = -F~1, (7.20)
дх dt
-очевидно удовлетворяющие уравнению (7.1), и покажем, что их дивизоры
полюсов совпадают с U и 33 соответственно. Это очевидным образом следует
из соотношений на контурах Г"
U (к) = G?UyGv - G71 - , (7.21)
дх
V (к) = Gv VvGv - G71 ^ , (7.22)
dt
которые получаются из формул (7.15) - (7.16) и (7.18) при помощи уже
хорошо знакомого нам приема - дифференцирования уравнения задачи Римана
по параметрам х и t.
Эта конструкция очевидным образом дает общее локальное по х и t решение
уравнения нулевой кривизны.
