Нелинейная неравновесная термодинамика - Стратонович Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
квадратичные по члены. Можно пользоваться выражением
д=г, ( -v2 (ФДш д ф,, 23) т2т3 s йх)й9) д-
{ X, р
+ 53 + 53 512,з ^°,7'з^т)] j, (19.44)
получаемым из (38).
При вычислении коррелятора (Въ В2, В3) следует учитывать лишь члены
порядка (kT)2. К таким членам относятся члены, линейные по Km и
квадратичные по K\V¦ Расчет коррелятора с применением техники, описанной
в п. 1.2, приводит к такому результату:
g,23 = r,r2r3fЦ к\11 д- 53 {Ki^KiV + KiVKiV) +
[a o, t
+ s$6Tb (KlVKiV + -f siV,sT5 (k\Vk(2V Д-. k№k\V)) -
7 p. Л. Стратонович 193
-(<Di$,45-tФк^)т,пТ, -
ат
- ((r)2S24o I Ф2, 45) Т4Г5 ? KWK&' - (Ф^МЬ ф Ф3. 45) ? *{? W )
от от J .
Учитывая (35) и (36), а также равенство 7'17'2? - G]2 и (28),
О
отсюда находим
G123 = - Т\Т2Т3Ф\23 ф- Т{Г2Ф12,5G53 -\-Т{Г3 (Ф13,5G52 -ф Фзз, 5G25)
Ф~ Т ТГ я Ф2я, 5G15 - (GjS^j [ Т ,Ф|, ir,) G42G63
(G2S245 -j- 77Ф2,45) G14G53 (G3S315 -(- Т3Ф3) 45) g14g25.
Подставляя сюда (17.6), получаем
G)гз = - Г\ТГГ3Ф\2Л -j- /й [71Уз 1з Ф12, з (G3 - G3) ---!-+ Т7з (ГГФП, 2
+ Г^Ф?. 2) (G2 - Gl) + Т2Г3ГГФ23, 1 (G, - Gl)] f Jr [^2 r3 (G1S123 ф-
T[Ф^ 23) (G2 - G2) (G3 - G3) ф-! - 17 Г3 (G2S213 ; T0Ф2. 13) (Gl - Gj)
(G3 - G3) -7 + If It (G3S3i2 + Г3Ф3,12) (G, - GO (G2 - GI)]. (19.45)
С другой стороны, G123 определяется соотношением (17.44), которое
вследствие (29) принимает вид
G123 = ft2 I 1'2 Г3 [G1S123G2G3 -j- G2G3S123G1
+ Т1Ф1, гз (G2 - 1) (G3 - 1) Т (G2 - 1) (G3 - 1) Фц гз71] -|-ф- if Г3
[G2S231G3G1 ; G3GiS23iG2 ! Т2Ф2,13 (Gi - 1) (G3 - 1) -|-(Gi - 1) (G3 - 1)
Ф2, i372] "Г Г1 [G3S312G1G2 ф- G1G2S312G3 ф-+ m.i2(Gi- 1) (G2 - l) + (Gi-
1) (G2 - 1)Ф3В,12Т3]). (19.46)
Подставим в (45) равенства (43) и приравняем выражения (45) и (46). При
этом матрицы Shlm, как нетрудно убедиться, сократятся в силу
(16.73). Перенося Glt G2, G3 налево от трехиндексных функций и пользуясь
равенствами
G, - 1 == -piTi, Gl - 1 = piT], G] - Gi = Pl (TJ + 77), а также
тождеством (16.73), после сокращений будем иметь
- р2Ф123 - -(c)1^(c)3 Ф2, 13 ф- 01^(c)2~Ф3, 12 ф" (c)2 (c)3 Фц 23 -
-07РФД2-02+РФз1,2, (19.47)
если положить
02РФ13 ,2 Ф~ (c)2ТФ31 ,2 - 0203(r)1 ,23 - (c)((c)гФз ,12 = -(c)/(c)эФ(r), 13-
(19.48)
В силу (16.73) правую часть (48) можно также записать в виде (/7з0^02 ф-
Bi(c)203)Вг'Фг, 13- В неквантовом случае, когда &* - ], 194
равенство (48) выполняется в силу (37) и (43). В квантовом же случае
равенство (48) является необходимым и достаточным условием того, чтобы в
получаемое из (45) и (46) выражение для Ф123 не входила странная
комбинация Т~\\Т23.
Обозначая для краткости
X = РФ13,2 - 0зФц 23 - /^(c)зРг'Фг, 13) Y = рФз1,2 - (c)1+Фз,12 РзвГй'Фглз"
равенство (48) можно записать в виде (r)2Х + (c)JV = 0, в то время как
соотношение (43) (с переставленными индексами 2 и 3) -в виде X + Y = 0.
Эти равенства можно рассматривать как систему уравнений, из которой можно
найти X и Y. Данная система в квантовом случае является невырожденной, и
из нее получаем X = 0, Y = 0, или вследствие (49)
рФГз, 2 = (c)3~ (Ф], 23 + РФ2 Ф2В, 1з). (19.50)
Благодаря (48) формула (47) приводится к виду
р2Фыз = (c)2 (c)з (Фц 23 - Ф?, гз) (c)Г(c)3 (Фг, 13 - Фг, 1з) А~
+ еГе?((^.12-Фз.12)- (19.51)
Это и есть искомое второе квадратичное ФДС первого рода. По своей
структуре оно похоже на (17.65). В неквантовом пределе полученное
соотношение переходит в соотношение (15.66), приведенное ранее.
Подчеркнем, что для вывода неквантового ФДС (15.66) из (45) и (46)
дополнительно постулировать справедливость равенства (48) не приходится.
8. Необходимые условия, накладываемые на способ введения внешних сил в
марковском случае. Линейно-квадратичное приближение. В марковском
(неквантовом) случае ФДС (20), (43), (51) совпадают с марковскими ФДС
(10.10), (10.13), (10.14), так как в этом случае
Ф1,2 =-Iat,afi (tl2), Ф12 = (^2),
Ф1,23 = -/a,,a2a,fi(fr. t2, h), Ф12, 3 = 1ахаг,а^> (tl, t2,
t2),
(r)123 = -la.iO.za.fi (t\, t2, h)-
Из рассмотрения, приведенного в предыдущих пунктах, следует поэтому, что
правило простейшего ввода внешних сил является
достаточным условием согласования марковских ФДС и общих
ФДС второго рода. В настоящем пункте будут рассмотрены необходимые
условия этого согласования в линейно-квадратичном приближении.
В марковском случае уравнение (3) является безынерционным, принимая вид
Аа = ~Qa (х (A), h).
7* 195
Функции Qa здесь зависят только от значений х (А (t)), h (t) в тот же
момент времени, что и Аа (t). Условие (6) принимает вид
Qa (х, h) == 0, при х - h. (19.52)
В линейном случае это равенство даег
т|-+-ЖГ = 0 А~0. (19.53)
Для вывода равенства (53) нужно разложить функции Qa (х, К) в ряд Тейлора
в нулевой точке, оставить только линейные члены, подставить разложение в
(52) и использовать произвольность вектора h.
При учете также и квадратичных членов разложения из (52) будем иметь
/Ч- + + .f¦*!- + bf - - 0 при х ¦- h = 0. (19.54)
дх$ дху дх$ дпу дЛр дху 1 дп$ ohy г 4 '
Вследствие (53) в линейном приближении имеем
Qa (л:, h) = (<5Qa/dxp)0 (дгр -- Лр).
