Нелинейная неравновесная термодинамика - Стратонович Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
(pAi У Ф4,36^31) 2 = Glj2. (19.12)
Таким образом, выражение, стоящее в правой части (11) перед h3, есть не
что иное, как линейный адмитанс. Как известно из п. 17.3, он
удовлетворяет соотношению взаимности GB, 2 = G2, 1 (см. (17.31)).
Это соотношение коротко можно записать так: GB = GT. Применяя равенство
(12), которому можно придать матричный вид
(р f Ф(7)-1 Ф = G (G = || Gj, 21|) (19.13)
(тождественная матрица не выписана, но подразумевается), получаем
[(р + Ф(7)~' Ф]в = [(р у ФU)~l Ф]т или
(рв у Фвив)~1Фв=-Фт(рг У игФгУ1. (19.14)
Но, как легко видеть, мы имеем
рв = -р, рт = -р, w = и, и* = и
(равенство UB = U, т. е. еаер"ар - ыа(5, вытекает из временной симметрии
равновесного распределения w (гВ) - w (В)). Поэтому
(14) эквивалентно равенству
(-р -у ФВ(У)-1 Фв = Фт (-р у (УФТ)-' или
Фв (-Р + ^Фт) = (-Р У фв^) Фт'
Отсюда находим
ФВ=ФТ. (19.15)
Равенство (15) или (15.24) и есть соотношение взаимности, которому
удовлетворяет функция Ф1)3. Оно было выведено в п. 15.2 марковскими
методами.
3. Линейное ФДС. Переходя к рассмотрению флуктуирующих внутренних
параметров Ba (t), вместо (8) имеем уравнение типа Лан-жевена
В, = -Ф112 (U23B3 - А*) + h (19.16)
(см. (15.39)).
Свяжем коррелятор случайных воздействий Ф12=(^1, 1з) (19.17)
с функцией Фь2. Решая уравнение (16) при А = 0, т. е. уравнение Bi +
ФyUyBy = h, где Ф == J Фг, а И, и =1^1.1, получаем By = (рг 4- Ф^О'1 Ь-
188
Используя последнее равенство, находим
(Blt й2) = (/li г ФД) '(ft f Фг^г) '(С. Сг)- (19.18)
С другой стороны, коррелятор внутренних параметров (Blt В2) в квантовом
случае определяется соотношением (17.6). Используя (13), это соотношение
можно записать так:
{В\, B2) = itiT2 [(/ft-ФА) Ф1.2 - (Р2 - Ф2^2) ' Ф2, i3* (19.19)
Приравняем правые части (18) и (19) и подействуем на них операторами рх +
Ф1Uх и р2 + Ф2U2. Учитывая обозначение (17), будем иметь
Ф12 = 1ЙГ2 [(р2 - Фг^УФц 2 - (Р\ - Ф^ОФг, 1 ]-
Если Ф2^/2Ф1,2 и Фх^Фад записать подробнее, то получим одно и то же
выражение ФЬЗФ2,4^34- Поэтому эти выражения можно сократить, что дает
Ф12 = *ЙГг (р2Фц 2 - Р1Ф2, 1) = 1ЙР2Е2 (Ф1,2 Ф2, О-
Учитывая обозначение (17.63), отсюда получаем
Ф12 = Л7,0Г(Ф1, 2+ Ф2, 0- (19.20)
Эта формула аналогична соотношению (17.62). В неквантовом пределе
й -> 0 операторы 0± переходят в единицу и из (20) вытекает
соотношение (15.44), полученное в п. 15.3 другим способом.
4. Линейно-квадратичное приближение. Связь функции Фх,23 с
квадратичным адмитансом Glt 23. Вытекающее из (3) и (7) уравнение
Аа = Ча И-)-А(-)] по аналогии с (15.4) можно записать в форме разложения
А\ = -Фх> 2 (х2 й2) '/гФг, 2з (*2 А2) (х3 й3)
- '/бФц 234 (х2 - Аа) (х3 - A3) (xi - й4) + ¦ • ¦
В линейно-квадратичном приближении следует пользоваться уравнением
А ] = Фх, 2 (Х-2 Аз) '/гФз, 23 (Х2 Аз) (Хз Й з) , (19.21)
а вместо (9) следует брать такую зависимость:
ха {А) = иар,А?> + 1/2sBpTi4v. (19.22)
Если матрица "аР не вырождена, что предполагается, то линейным
преобразованием переменных Аа можно добиться, чтобы она обратилась в
единичную, т. е. в 6аР. Тогда вместо (22) будем иметь
ха = Аа V2sapvApAr (19.23)
Будем использовать (23), а не (22), чтобы формулы записывались несколько
короче.
Подставляя (23) в (21), в принятом приближении находим
j4i -(- Фх, 2Л2 = Фх, - У2Ф1, 4^42342/43 - 1//&и 23 (A3 - Ajj) (A3 - Аз).
<19.24)
189
Здесь S123 - матрица, которая более подробно записывается так:
Ва1ага,(^1. ^2> (з) == 5а,а2а3в (G ^2) 5(^1 ' t'i)-
Отсюда нетрудно получить Ау = (р! Ф^) 1 1/гФхЗцгзП 3А 3
- Ч2Фит (A, ~h2) (А3 - А.)]. (19.25)
Здесь и в дальнейшем используем сокращенный способ записи, применяемый в
(20.8).
Если итерациями в правую часть (25) в качестве At подставлять все
выражение (25), то можно выразить Ai через ft. В линейно-квадратичном
приближении достаточно одной итерации, после чего будем иметь
/4i = Ti Ф1Й1 - 1/2Т1Ф15123Т2Ф3Т3Фз/г2/гз
- V*7VI>1>23 (Т2Ф3 - 1) (Т3Фз - 1) h,h3 + ¦¦¦¦ (19.26) здесь обозначено
Тг = (Pl+ ФгГ1. (19.27)
Сравнивая (26) с (16.4), кроме уже известного равенства
С,,2 Г,Ф,,.2 (19.28)
(см. (13)), будем иметь
1^1,23 = Т^lSl23T2Ф2Т3Ф3 Т1Ф1> 23 (Т2Ф2 1) (Т3Ф3 - 1)
или, если учесть (28),
^1,23 = ^l3l23^2^3 T^i,23 (G2 " 1) (G3 1). (19.29)
5. Стохастическое уравнение в линейно-квадратичном приближении. В
нелинейных приближениях вместо (16) следует брать уравнение
. В1 - -Ф4,2 (хг - h2) - Х/2Ф1,2з (х2 - h2) {х3 - ft3) -
- V6(^i, 234 (-^а - Л2) (х3 - ft3) (xi ft4) - ... - Г-
' ' + -S [SnPl^ ~Ь (х3-h3) + V2*^ 12з\^2°^ (*з-h3) (дд-ft4) -f-
...].
(19.30)
Здесь ^г2). ••• -независимые друг от друга случайные процессы-с.нулевыми
средними значениями, имеющие корреляторы
<?{0>, ?Г)-А5(20), <^(0), и°\ ... (19.31)
Перекрестные корреляторы равны нулю. Входящие в (30) функции Ф1,2. . т
близки к функциям Ф], 2 ... т, которые входят в уравнение
(15.4) для средних. Именно,
Ф1, 2 ... m - Фц 2 ... т ~ К.
Здесь х - кТ в неквантовом случае их- шах (kT, ft со) - в квантовом.. Для
простоты без дальнейших оговорок в подобных оценках мы будем полагать х
