Нелинейная неравновесная термодинамика - Стратонович Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Здесь использованы обозначения (10.5).
С помощью второго уравнения (5) в принципе можно найти Ср (0 как
функционал от Аа:
Ср (0 = Тр (4 Ла (т)) ее Fp [А (т)]. (15.6)
Подставляя ха = ха (Лр) = ха (Fp [А ]) в первое уравнение (5), можно
получить из него уравнение с последействием (1).
2. Линейное приближение. Соотношения взаимности. В линейном
приближении имеем уравнения
== Ах, рТр 4" Ах, оСр = /Р) рХр - /р, а-^р> (15.7)
причем можно считать, что х( линейно выражаются через Лг:
-^г (43/) = UjyZ?/, Ха = ИарЛ|з, Хр = UpaC0. (15.8)
Перекрестные коэффициенты иаа, ир0 положены равными нулю. Это
соответствует предположению, что в рамках единовременного равновесного
распределения ьурав (В) компоненты Аа статистически независимы от Ср.
Подставляя (8) в (7), получаем уравнения в матричной форме
А = - Ъ1А - DaC, С = - ЪаА - Ъ2С, (15.9)
где
А=\ , С = 1 • , Di = -||/0,рЫрт11*
(15.10)
\aJ \Ar+mJ
Ol2 = || la, aUax |, Da = || /p; (jM|3y ||, Aj = || lP) aUa%
||.
Разрешая второе уравнение (9), можно найти зависимость (6),
соответствующую линейному приближению. Имеем матричную формулу
t
С(t) = - } ехр [-Dt(t-t')]DaA(t')dt'. (15.11)
-оо
Подставляя (11) в первое уравнение (9), найдем
t
А = - ЪХА 4- Д2 } ехр [- Ц, (/ -t')\ DnA (/') dt'. (15.12)
-ОО
5* 131
Учитывая равенства Dx =-|/а,зыЗу1" ~IUp.3w3yII и второе
равенство (8), полученную формулу можно записать так:
. Аа (?) = - J Фв> р (t - о Хр (Г) dt', (15.13)
где
|Фа.з(*-0" =
-Lib (t-t') + Di3 ехр[-D.i(t - t')\L.2l при t^t',
О при Г
(15.14)
(L1 =(|/",р||, L21 I/Р,в 1)• Функции (14) введены таким образом, чтобы
правая часть (13) совпадала с линейным членом в (3).
Докажем, что матрица (14) удовлетворяет обобщенным соотношениям
взаимности Онзагера-Казимира
Фа,з(*-П = еаерФр.а(*-П- (15.15)
Разность времен t - Г здесь произвольная.
Учитывая равенства (10), определяющие D12, D2, матрицу (14) можно
записать в форме
А --
Фа, В Ю = la, р5 (s) la, aUax [ехр (Bgt^sJKp/p, р,
где
^2= I Ip, а ||. ^2=l"off||> S = t- /'>0.
В силу (10.11) член 1а,р8 (s) удовлетворяет соотношению типа (15).
Поэтому для доказательства (15) остается доказать равенство
1а, о^рт [ехр (L.2 ngS)]Xp/p> р = ?р(р,рПрТ [ехр (L2 U2S)]xala> аЕа-
(15.16) Еще раз используя соотношения Онзагера (10.11), имеем
Ер/р, р = (р, р?р, 1<х,аЕа = есКа, и- (15.17)
Поэтому для доказательства равенства (16) достаточно показать, что
А А А Л А А
ер (U2 ехр (L2U2))рое(Т == (Н3 ехр (L2H2))op. (15.18)
Из условия о>рав (еВ) = аурав (В), которому удовлетворяет единовременная
равновесная плотность распределения переменных В = - (А, С), имеем ериро
= ирТет или, в матричной форме,
еП2 = П2е (0Т=П). (15.19)
Справедливость (18) вытекает из (19) и соотношений взаимности ереа/р, 0
=/ст, р (см. (10.11)), в чем можно убедиться, скажем, разлагая в ряд
экспоненту, стоящую в (18).
Обобщенным соотношениям (15) эквивалентны соотношения
Фа, 3 (а>) = еа(?зФэ, в (со), (15.20)
132
записанные для спектров
Та,р(ю) = j ехр (- f'cos) Фа, р (s) ds. (15.21)
Введем операцию временного сопряжения, обозначаемую верхним индексом "в",
которая заключается в изменении знака у времен и умножении на временные
сигнатуры еа:
Фа,, а, (ll -^2) = cu ('-U k)- (15.22)
Комбинируя (15) и (22), получаем
Фа" а, К. - h? = Фа2, а, (*2 ~ (15.23)
Используя сокращенные обозначения, примененные в (4), формулу (23) можно
записать в таком коротком виде:
Ф1В.2 = Ф2, 1- (15.24)
Последнее равенство справедливо не только во временном, но и в
спектральном представлении. Именно, если ввести функцию
Фа,р((r)1. (r),) =
= (2л)'1 | ехр (- t'toKi - mj2) Фа, р (tlt t.2) dt1 dt2 (15.25)
(множитель перед интегралом здесь гыбран таким, чтобы преобразование было
унитарным), то из (2,3) будем иметь
Ф<х,рК,ы2)е = фр,а((r)2,"1), (15.26)
где
Фа,р(а"1, (0i)n =еаерФа>р(-(ох, - (о2). (15.27)
Понимая под индексом 1 пару аь coj, а под индексом 2 - пару а2, со2,
равенство (26) можно кратко записать в прежнем виде (24). Следовательно,
формула (24) инвариантна относительно изменения представления (слово
"представление" здесь понимается в том смысле, в каком оно понимается в
квантовой теории).
В стационарном случае, когда Ga,p(G- 4) зависит лишь от разности времен,
спектр (25) пропорционален дельта-функции
Ф", р К, со2) = фа, р (%) 6 (% г со2),
гДе фа,р ("с) - функция (21). Поэтому (26) эквивалентно равенству (20).
3. Линейное ФДС. Теперь будем рассматривать А (0> С (t) как
флуктуационный процесс (случайные функции будем обозначать теми же
буквами, какими в (9) обозначены средние значения). Уравнениям (9)
соответствуют уравнения ЛанжеЕена
Л = -В1А- б12С -f I, С = - 6ЛА - D2C У]. (15.28)
133
Согласно (10.10) шумы т] имеют нулевые средние значения и корреляционные
функции
(?<* (к) Ip (t2)) = -kT (/., э + Ip, а) 8 (/"),
(?" (к) 1а № = -кТ (1а, а + /а, а) 6 ((12),
(1р (К) !а (I,)) = -КГ (/Р1 а + 10> р) б ((12)
или в матричном виде
(I (к) Г (К)) = - kT (Lx +LJ)6 (кг),
{l (к) riT (4)> = - (Z12 + Й,) б ((12), (15.29)
