Нелинейная неравновесная термодинамика - Стратонович Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
(10.22)). Однако в нашем примере имеется лишь один диссипативный элемент
(нелинейное сопротивление), и поэтому число независимых диссипационно-
неопределяемых параметров может быть уменьшено до единицы. Это
дополнительное уменьшение числа параметров обусловлено просто принципом
причинности. Поскольку нелинейное сопротивление учитывается лишь во
втором уравнении системы
(46), можно положить все элементы матрицы сар)?6, кроме с22)22 = = с2,
равными нулю. Тогда по формулам (10.23)-(10.25) при учете
(47) будем иметь
ki,22 = kT (с2 + 2у), /222,2 = -{kTf (2у + Зс2),
/2222 = 2 (kTf (4у + Зс2). (13.48)
Здесь учтено, что е2 = -1, поскольку параметр р нечетен по вре-
мени.
Прочие элементы матриц /a|3i v6, laPYi6, la^& равны нулю.
Поскольку в (46) нет квадратичных членов, все трехиндексные
коэффициенты /... равны в данном примере нулю. Двухиндексную матрицу 1ар
нетрудно найти при помощи (10.10):
122 = 2 kTR\
прочие /ар равны нулю.
Используя (11.33) и (48), находим
К2222 = 2 (kTf (4у + Зс2),
К222 (р) = -{kTf (2у + 3с2) pH. (13.49)
Прочие КаЦуб и KaHt равны нулю.
Далее по формулам (11.34), (11.35) получаем
К" (р) = 2kTR + 42kT (с2 + 2у) (p/Lf - Ч2 (kTf (с2 + 2у) L~\
Кг 2 = Кп = 0, (13.50)
+49*
Кг (Q, р) = p/L.
Если, используя полученные коэффициенты (49), (50), записать кинетическое
уравнение
w (Q, р) = Lxw + L2w
(где -оператор линейного приближения), то обусловленное кубической
нелинейностью выражение
L*W= -^4К[{РЗ~Ш1Р)Ш] +
+ kTHl+p-&L[{Р* _ kTL)W] + (4у + Зс2) +
I (ЬТУ ,оч
будет напоминать соответствующее выражение в (43). Это естественно,
поскольку в обоих рассмотренных примерах бралось одно и то же нелинейное
сопротивление. Разница лишь в том, что в предыдущем примере оно оказывало
влияние на уравнение для четной по времени переменной, а теперь -на
уравнение для нечетной переменной.
7. Учет нелинейного трения при движении шарового тела в однородной
изотропной среде. Наряду с линейным жидким трением будем учитывать
нелинейную -кубическую -часть силы трения. В изотропной среде формула для
векторной силы трения имеет вид
/тр ((r)) = Y(c) -f Ь2(c). (13.51)
Квадратичные по скорости члены исчезают в силу условия изотропности.
Учитывая (51), найдем векторное феноменологическое уравнение движения
mv = - у<0 - 'kviv. (13.52)
В качестве Вг, В2, В3 возьмем компоненты вектора импульса р = = mv. Тогда
из (52) будем иметь приведенное уравнение
Ра = - yva - №va = Ха (v), (13.53)
поскольку va = ха являются силами, сопряженными с ра.
Дифференцируя (по формуле (10.5)) правую часть (53), находим
^а, р = - У^ар, /a,pvо = - 2^(6ap6v(T-j-6av6p(j6a(T6pv). (13.54)
Подставляя (54) в (10.10) и (10.23), а также используя формулу
"а|3 ((r)) = fcfl "Ь V./.p, yoVyVo>
получаем
"ар ((r)) = 2?7у6ар + 2kTX (о2бар + 2оаир) +
+ 1!ikT са р, yavyva. (13.55)
В изотропном случае тензор cap, yavyva должен выражаться только через 6ро
и вектор ир. Перебирая все возможные тензорные комбинации из бро и ир (их
только две), получаем
l/2Cap, yaVyVa = С || UaUp + Cjl (u28ap - UaUp). (13.56)
Входящие сюда постоянные сц и с± есть независимые диссипационно-
неопределяемые параметры. Мы видим, что их только два. Физически ясно,
что движение тела в первую очередь изменяет те компоненты действующих на
тело флуктуанионных сил, которые параллельны скорости движения. Поэтому в
(56) основной вклад дает параметр Сц. Поперечный параметр сх должен быть
значительно меньше, чем сц, или даже равен нулю.
Выражению (56) соответствует диссипационно-неопределяемая матрица
сар, уа = (сII - сх) (6ау6р" + 6aa6pY) 1 - 2сх6ар6у(Т. (13.57)
122
Нетрудно проверить, что эта матрица удовлетворяет соотношению
(10.22). Вследствие (56) формула (55) принимает вид
Кар (V) = 2kTу6ар + kT (2к + сД и26ар kT (4Х + с ц - с J НаНр.
(13.58)
Принимая во внимание (54) и вид матрицы 1ае,уа> соответствующей равенству
(58), по формулам (11.34) и (11.35) находим
Ка$ (р) = [2 kTy \ kTtn'1 (2а -)- сА) (р2 - Шш)} 6аР +
+ kTtn 2 (4а + с || - с±) (РаР\>> ~ kTт6аР)
Ка (Р) = - ym~1Pa - hmr3 (р% - 5kTm) ра. (13.59)
Далее, учитывая (54), (57), по формулам (10.24), (10.25), а затем по
формулам (11.33) получаем
Ка&уо - 4 (kTf (4Х -}- с у) (5ap6va -j- 6av6pa -f 6a06pv),
Kafr (P) = - 2 (kTf m-1 (41 - h с ") (pa8^ + pp6ev + py6ap). (ld,bU)
Используем найденные коэффициенты (59), (60), чтобы записать
соответствующее данному примеру кинетическое уравнение:
w (р) = L-jW -4- Xm~s ((р2 - 5kTm) paw] -
+ 2-1m~2kTAp \(с' (р2 - 3kTm) - c"kTm]w\ +
+ 2 -im-Wc"^?^(PaPbW) +
+ пГ1 (kTf (41 + с ц) Др ±- (paw) + 2-1 (kTf (41 + с ") A2pw. (13.61)
Здесь
с = 2Я -|- с_l j ? = 4X -|- с и - с_l у Ар = ^ д /драу
a
Lyw = пГгу г- (paw) + kTyApw.
Нужно отметить, что обусловленная диссипативной нелинейностью часть
кинетического оператора, которая выписана в (61), останется такой же,
если рассматриваемое тело движется во внешнем механическом потенциале П
(г) (даже если сила / (г) = -grad П (г) нелинейно зависит от г). При этом
