Нелинейная неравновесная термодинамика - Стратонович Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
трехиндексных соотношений нет. Так, если в (6) положить m = 3, то получим
соотношение laр7 = 0 при eaepe7 = 1, вытекающее из (14).
Согласно (13) и (14) все флуктуационные трехиндексные коэффициенты lap,y,
laPv выражаются через нефлуктуационный коэффициент 1а,ру, который можно
найти при помощи феноменологического уравнения и свободной энергии. В
этом отношении трехиндекс-ный случай аналогичен двухиндексному, когда по
формуле (10) флуктуационный коэффициент 1ар тоже выражается через
нефлуктуационный /aip.
4) Четырехиндексные соотношения. Дифференцируя (3) по ха, Хр, xv, хб в
нулевой точке, находим
AxPv6 Д kT (lapY> 6 4" /серб, Y Д 1<ху6, р 4" hy6, а) Д
Д {kTf (1ар, 7б Д la¦{, 36 Д lab, Py Д hy, аб Д ^рб, ay Д lyb, ap) Д
Д {kTf {la, Py6 Д lp, ayb Д ly, арб "Г Д aPv) - 0- (Ю. 15)
Если же продифференцировать (4) по (3, у, б в нулевой точке, то получим
la3y6 Д kT (lapY, б Д laps,у Д I ayb, p) Д
Д {kTf {lajit 7б Д lay, 36 Д la6, Py) + (1 Д 8а8Эе7еб) la, Py6 = 0.
(10.16)
Наконец, если взять равенство (2) при m = 2, ах = а, а2 = р и
продифференцировать его по х7 и хй и положить х = 0, то будем иметь
Др7б Д kT {1ар7, б Д fcpa, y) Д {kTf (1 - еаере7ей) /ар,7Й = 0.
(10.17)
Вычитая равенство (16) из (15), получаем Ipyb, а Д kT {Ipy, (хб Д Ipb, ау
Д 1уй, а з) Д
Д {kTf (Д "7б Д ly, аре Д Д aPv - 8а838786^а, pv6) = 0. (10.18)
83
Вычитание >не равенства (17) из (16) дае!*
Ахуб, р "Ь kT (fcy, (36 7" 4x6, (Зу (r)в(r)(38у(r)вАх0, тб) "f"
*f" (W)* О ~Ь еаереуеб) 4х, Руб = О
или, если здесь поменять местами аир,
^Руб, а ~Ь кТ (4зу> аб 7" 7рй, <ху 4" ?а?р(r)у(r)б4хР, уб) 4"
+ (кТ)2 (1 + еагре7е6) /Р) ау6 - 0. (10.19)
Теперь вычтем (19) из (18) и получим
Сб, аР ^ар, уб
" кТ [1у> ара Д 4, ар7 - Eaepevee (la> Pv6 + /р, avg)] = 0. (10.20)
Если ввести обозначение
сар, уб = (кТ) 1 laр> 7g -)- /а> pvg 4" /р, Kv6, (10.21)
то равенство (20), как нетрудно видеть, можно записать так:
4>б> "Р === (r)a(r)P(r)v(r)6^a0, уб' (10.22)
Если (21) разрешить относительно /аР, v6 и полученное равенство
4хр, уб кТ (саР) 7§ /а1 р7Й /р1 Куб) (10.23)
подставить в (18), то будем иметь
4х0у, б (^-7*) (/ttj р7б /р, ауб "П ^у, арб ~ Г
~Ъ (r)а(r)р(r)у^б^6, ару Схр, уб ^ау, Р6 ^Ру, аб)' (10.24)
Наконец, учитывая формулу
(1 + еаереубб) /aPv,6 = - (kTy11арт6, вытекающую из (7) при m = 3,
находим
АхРуб == (кТ)3 (IT- eaepeve6) (сл р) 7g -j- Cay, ра 4"
73у, аб 4х, Руб 4> ауб 1у, арб 4, "Ру)' (10.25)
Равенства (22)-(25) будем считать основными четырехиндекс-ными ФДС.
Нетрудно проверить, что они исчерпывают все независимые четырехиндексные
соотношения.
Из полученных ФДС видно, что в четырехиндексном случае нефлуктуационные
коэффициенты /а,Р7б не определяют полностью флуктуационные коэффициенты
/аР, v6, 4.Ру, 6, UРуб- Для полного определения последних требуется
дополнительно задать матрицу сар,уб, которую мы будем называть
диссипационно-неопределяемой и которая обязана удовлетворять условию
(22). В данном отношении четырехиндексный случай в корне отличается от
двухиндексного и трехиндексного'.
Число независимых элементов (параметров) в матрице caPjv6 уменьшается,
благодаря условиям симметрии caP, ve = сРа, v6 = = саР;бу и равенству
(22). Дополнительное уменьшение числа диссипационно-неопределяемых
параметров происходит в том случае, когда рассматриваемая система
обладает какими-то свойствами
84
симметрии, например, симметрией относительно поворотов (изотроп* ностью).
3. Модифицированные ФДС. Кроме того варианта теории, который изложен в
пп. 1 и 2, возможен модифицированный вариант, в котором за исходное
берется производящее равенство (6.35) и разложение (5.43). Вместо (5)
теперь введем матрицы
д%:::ае пр"-* = 0' (10'26)
Входящие в равенство (26) функции ... а ДО определяются формулой (5.44).
Нетрудно видеть, что в данном варианте можно
произвести выкладки, аналогичные тем, которые были проведены
в пп. 1, 2. В результате можно получить модифицированные ФДС, которые
будут отличаться от ФДС, найденных в п. 2, только тем, что в них вместо
kT будет фигурировать k. Так, например, вместо (10), (11), (13), (14)
будем иметь соотношения
Д%р & Да, (3 4" Д, а), Ер, а = ^а^Да, р>
Еар, у ^ (еаеРеуД> <*Р ^а> Pv а?)' (10.27)
Еа|3у = 2k Оару Да, Pv 4" Ср, av 4" Су, ар)
(2Дфу = 1 - eaepeY). Как и ФДС из п. 2, эти соотношения являются точными.
4. Обобщение ФДС на случай присутствия внешнего магнитного поля и т. п.
Условие временной обратимости (6.1), лежащее в основе теории,
несправедливо, если рассматриваемая система помещена во внешнее магнитное
поле, если система находится во вращении и т. п., короче, если
гамильтониан Д, р) зависит от нечетных внешних параметров. Останавливаясь
для конкретности на случае магнитного поля, имеем гамильтониан 2@(q, р,
Н). Вместо (6.1) он удовлетворяет такому соотношению:
Ж(ц, -р, -H) = 3g(q, р, Н). (10.28)
В случае вращения с угловой скоростью Q будем иметь Ж(гг, - Q) = = Ж (z,
Q) и т. п.
При условии временной обратимости (28) рассмотрение, приведенное в пп.
