Нелинейная неравновесная термодинамика - Стратонович Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Следовательно, (1) принимает вид
R (У> X) - dayUypt/a {Ур -Гр). (7-2)
Подставляя (2) в равенство (6.33), получаем такое равенство:
drjyUyp (уа ~f- Ха) Ур == t'adr/yUypt'pya (tjp -(- Хр).
Это равенство должно выполняться при любых уа и хр. Следовательно,
Рис. 7.1
(7.3)
tt'PVu'Va - C/ac,p<^avu'VP*
Соотношения (3) эквивалентны соотношениям Онзагера-Казимира (10.11),
рассматриваемым в дальнейшем.
2. Диодная модель нелинейного сопротивления. Релаксационное уравнение.
Рассмотрим (рис. 7.1) электрическую цепь, состоящую из нелинейного
резистора и емкости С. Последняя может быть паразитной емкостью
нелинейного резистора или суммой емкости конденсатора и паразитной.
Нелинейный резистор будем представлять себе как вакуумный диод (рис.
7.2), причем предполагаем, что в пространстве между электродами имеется
стационарный ("закрепленный") отрицательный пространственный заряд. Он
создает электрическое поле, описываемое электрическим потенциалом ср (х),
где х -координата, перпендикулярная поверх-
57
ности плоскоплраллельпых электродов. На рис. 7.3, а изображено
качественное поведение функции --сер (л), е > О, при нулевой разности
потенциалов между электродами. Точки А и В обозначают положение
поверхности электродов. Подскок функции -сер (х) вблизи поверхностей
электродов соответствует работе выхода электрона из металла электродов.
Если между электродами имеется разность потенциалов, то -еср (х)
принимает форму, качественно изображенную на рис. 7.3, б.
Обозначим через Q заряд на емкости С, а через V = Q/C - разность
потенциала между электродами. Расстояние между электродами обозначим
через d. На электроны, находящиеся в точке х (О < х <d), действует сила
/ w _ м _ "¦ дгле : - xl ., jm.,, * . (7А)
Учтем теперь, что заряд Q на электродах при движении электрона меняется
именно благодаря этому движению. Пусть электрон движется слева направо.
Пусть, когда электрон находился на левом электроде, на правом электроде
был заряд Q. Когда электрон с левого электрода (где х - 0) перешел в
точку х, это перемещение "навело" на электроды заряды, и на правом
электроде заряд стал равным
Q (х) -- Q -ex/d. (7.5)
Здесь знак "минус" обусловлен отрицательностью электрона. Когда электрон
перейдет на правый электрод, вместо заряда Q будем иметь Q -е.
Существенно, что формула (5) справедлива независимо от того, с какой
скоростью движется электрон.
Взяв в (4) в качестве Q заряд (5), будем иметь
f(x) - c rf(p(x) 1 eQ -X
/ W -e dx I cd cdi Этому полю сил соответствует такой механический
потенциал:
Ui (*)= - _[/ (*')dx' = ~е<Р (х) ~ + -щг х°- (7-6)
о
Если бы электрон двигался справа налево, то вместо (5) мы имели бы
Q(x) = Q + e-^~,
58
а вместо (6) - потенциал
* d
U2 (х) = - J f(x') dx =¦= j f (у) dy =
d x
= eq> (x) -f -Ц- (d - x) + - ggp- (d A')2. (7.7)
В (6) и (7) пути интегрирования соответствуют пути электрона, Ф (0) = ф
(d) ^ 0. Электроды имеют температуру Т, электронам соответствует
максвелловское распределение по скоростям, следовательно, они имеют
случайную энергию. Только те электроны могут пролететь между электродами
слева направо, которые могут преодолеть максимум потенциала (6). Прочие
электроны вернутся назад. Только те электроны могут перелетать справа
налево, которые преодолеют максимум потенциала (7). Точку максимума
потенциала (6) обозначим через хъ а точку максимума (7) -через х2.
Приравнивая нулю производные от этих потенциалов, получаем уравнения
-ф' (лу) *1 = О, - ф' (х2) - -1L - (d - А-3) = 0
(7.8)
(ф' (х) = Тф (x)/dx), определяющие х1 и х2.
Доля электронов, проскочивших максимум потенциала, определяется
экспонентой ехр [-рн;(лу)], i = 1, 2. Для токов /+, /_, первый из которых
обусловлен движением электронов слева направо: а второй -справа налево,
имеем, следовательно, такие равенства,
1+ = -/0 ехр (-рПх (лу)), /_ = /0 ехр (-рU2 (х2)), (7.9)
где /0 >0 -некоторая постоянная, имеющая размерность тока. Полный ток Q =
/ равен
7 = /++/_ = - /0 ехр (-pHj (лу)) + /" ехр (-рU2 (ха)).
Подставляя сюда (6) и (7), получаем
Q = /(Q) = - /0|ехр [реф(х,) -f p-i^-xi ~ ддд-Д1] -
- ехр [реф (х2) - р (d - х2) - (d - *2)а] } • (7-10)
Чтобы получить более простое явное выражение для зависимости / (Q),
предположим, что -еф (х) имеет острый максимум, т. е. что в некоторой
окрестности точки максимума справедливо уравнение
•-d2<р (x)ldx2 = (а/е0) б (х -х0).
Это означает, что стабильный отрицательный пространственный заряд
сосредоточен на поверхности х = х0 с поверхностной плотностью о < 0.
Тогда, если заряд Q не слишком велик, точки макси-
59
мума лу, х2, определяемые из (8), совпадают, не зависят от Q и равны х0-
При этом (10) принимает вид
(7.11)
где обозначено
р л" </, с/ ----- 1 - р, /, /0 ехр фар (л'0) 1.
(7.12)
Полученное уравнение есть нелинейное релаксационное уравнение для
рассматриваемой системы, так как оно определяет релаксацию заряда на
емкости.
3. Диодная модель. Разрешение парадокса, связанного с детектированием
