Нелинейная неравновесная термодинамика - Стратонович Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
применение теории, которое изложено в работах Хакена, Эбелинга и др. [77,
82-84 ].
Неравновесные фазовые переходы рассматривались во многих работах, в
частности, в [11, 31, 39, 56, 82-84] и др.
Глава 8
КИРХГОФОВА ФОРМА
ФЛУКТУАЦИОННО*ДИССИПАЦИОННЫХ СООТНОШЕНИЙ
§ 33. Функции, описывающие линейное и нелинейное рассеяние, отражение и
поглощение волн
1. Приближающиеся и удаляющиеся волны в одном частном случае.
Кирхгофова форма ФДС описывает закономерности процессов, в том числе и
флуктуационных, имеющих место при линейном и нелинейном отражении и
преломлении (вообще, рассеянии), а также поглощении волн. Предполагается,
что до рассеяния и после него волны движутся в линейной среде, так что
вся нелинейность
сосредоточена в рассеивающем теле. Природа волн может быть различна: это
могут быть электромагнитные, звуковые или какие-нибудь другие волны.
Различными могут быть и схемы рассеяния волн.
Простая схема рассеяния изображена на рис. 33.1. К некоторому телу
("черному ящику") подведены одномерные волновые системы, скажем, длинные
линии. Тело рассеивает подходящие к нему волны, и рассеянные волны по тем
же линиям идут обратно. Вместо одномерных волновых систем к рассеивающему
телу могут быть подключены волноводы, по которым могут идти волны
различных типов, т. е. различные моды.
Другой случай рассеяния изображен на рис. 33.2. Имеется бесконечный
однородный плоско-параллельный слой вещества, который осуществляет
линейное или нелинейное рассеяние подходящих к нему волн. Возможен также
случай, когда идущие в трехмерном пространстве волны рассеиваются телом
конечных размеров.
Начнем со случая, изображенного на рис. 33.1, и рассмотрим одну из
одномерных волновых систем. Пусть z - ее продольная коорди-
398
Рис. 33.1
Рис. 33.2
ната. Вследствие линейности волновой системы и ее одномерности
соответствующий ей гамильтониан имеет вид
Ж [и (г), я (г)] = V2 J [т' я2 (2) + Хо (ди (z)/dzf] dz. (33.1)
Здесь и (г) - волновое поле (смещение), а я (г) - сопряженные с ним
импульсы. В квантовом случае имеют место перестановочные соотношения
[и (г), я (г') ] = ИгЬ (z - z'). (33.2)
Зная гамильтониан и применяя уравнения Гамильтона, квантовые или
классические, нетрудно найти уравнения движения
и = я 1т0, я = df (z)/dz. (33.3)
Здесь / (z) = х0 ди (z)/dz. Вместо (3), как легко видеть, можно взять
уравнения
/ = и0дй/dz, й = 1ЩХ df/dz. (33.4)
При этом из (2), используя первое равенство (3) и определение функции /,
можно получить соотношения
[/ (г), й (г') ] = Ли1 б' (г - г'), (33.5)
где v = (х0/т0)'/2 - скорость движения волн.
Величина / (г) = к0ди (z)/dz имеет смысл силы, сопряженной с и, т. е.
произведение /и имеет смысл энергии. В этом можно убедиться, приняв во
внимание размерность формулы (5). Поскольку z имеет размерность длины, то
б' (г - г') имеет размерность длины-2, а у2б' (z - z') - размерность
время "2. Постоянная Планка имеет размерность энергия X время.
Следовательно, правая часть равенства (5) имеет размерность
энергия/время. Отсюда следует, что fit имеет размерность энергии/время, a
fu имеет смысл энергии.
В случае электрической длинной линии в роли силы / (z) выступает разность
потенциалов V (z), а в роли й (z) - электрический ток I (z). Вместо (4) и
(5) при этом будем иметь
* = 7 = (33'6) [V (г), I (г')] = ihv-b' (z - г'). (33.7)
Здесь у2 = (L0C0)-1; С0, L0 - емкость и индуктивность, рассчитанные на
единицу длины.
Уравнения (6) называются телеграфными. Наряду со скоростью волны можно
ввести волновое сопротивление
R = (пг0х0)1/2 или R = (L0/C0)1/2.
Решение уравнений (6) можно записать в виде
У 0 = 2-'/2Я'/2 (t + г/у) + g+ (t - г/у)],
/ (г, t) = (2R)-^2 [g_ {t + г/у) - g+ (f - г/у)],
399
как в этом можно убедиться прямой подстановкой. Здесь g_ - волна, идущая
в сторону убывающих значений г, a g+ - в противоположную сторону. Если
точка соединения линии с рассеивающим телом соответствует z = 0, а линия
располагается при z > О, то волна g_ подходит к телу и ее можно назвать
приближающейся и обозначать gn. Волна g+ является удаляющейся и ее будем
обозначать g7.
Разрешая (8) относительно gn g_ и g7 = g+ и используя (7), легко найти
перестановочные соотношения
gy(Ol = o,
[?п (О, Г а')] = [?у (0. gy (П\ = ifi в' (t - О- (33.9)
Здесь учтено, что б' (г/и) ---- и2б' (г).
Если (8) подставить в выражение для энергии
W = V2 \[L0P(z) + C0V4z)]dz, которое аналогично (1), то будем иметь
W = 72i>-! [ | [gn (I -f г/у)]2 -f [gv (/ - г/у)]2} dz =
= VaJ {[ffn(0]2 + [ffy(0l2}^- (33.10)
Если ввести спектр
OO
gn (со) = (2л)_1/2 J exp (-mt)gn(t)dt (33.11)
- OO
и аналогично для gy (со), то последняя формула примет вид
ОО
W = J [gn (со) gn (-со) + g-y (со) gy (-со)] d(0. (33.12)
- ОО
Вспомним теперь, что в рассматриваемой схеме имеется несколько одномерных
волновых систем. К каждой из них можно применить приведенное выше
рассмотрение. В результате будем иметь несколько приближающихся и
удаляющихся волн, несколько функций gs (t), gi (t), s = 1, 2, ... Полная
