Нелинейная неравновесная термодинамика - Стратонович Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
х (/), у (/) в начальный момент времени / = 0.
В силу неравенства -cd > а2 коэффициенты с и d должны иметь разные знаки.
Для определенности предположим, что с > 0. В противном случае можно
переобозначить х и у, при этом с поменяется на d и наоборот, а а - на Ь.
Введем функцию
Е = су2 + (а - b) ху -dx2. (31.45)
Вычисляя ее производную по времени с использованием (42), нетрудно найти
Ё = (a -f- b) Е + [(а - Ь) у - 2dx] /у + [(а - Ь) х + 2су ] f2.
(31.46)
Согласно этому равенству вблизи критической точки при малых х, у функция
Ё медленно меняется по сравнению с х и у. В самом деле, вблизи
критической точки а + b близко к нулю, а /ъ /2 много меньше, чем ах, су,
dx, by, в силу малости хну. Следовательно, в этом случае можно применить
метод медленно меняющейся амплитуды. Амплитуду А можно определить,
скажем, равенством
Е = сА2 = (уА)2, (31.47)
где у = с'/2. в качестве начального момента времёни / = 0 возьмем момент,
в который координата х равна нулю (х0 = 0).
379
Тогда из (45) и (47) получаем, что начальное значение амплитуды совпадает
с у0. В приближении, соответствующем равенствам (44), амплитуда
постоянна. Поскольку х0 = 0, у0 = А, эти равенства можно записать так:
х (/) = (с/со) A sin со/,
у (/) = A [cos со/ - (a/co) sin со/]. (31.48)
При более точном рассмотрении, соответствующем уравнению (46), вместо
(48) следует брать равенства
х (/) = с со-1 А (/) sin (со/ + ср), (31.49)
у (/) = А (/) [cos (со/ + ср) -асо-1 sin (со/ +ср)],
где А (/) и ср (/) -медленно меняющиеся амплитуда и фаза.
Учитывая (47), уравнение (46), где в квадратных скобках а - b вблизи
критической точки можно заменить на 2а, приведем к виду
А = V2 (a -f b) А + Л-1с-1 (ay -dx) /у (х, у) +
+ А-1 (ас-'х + у) Д (х, у). (31.50)
Здесь в качестве х, у следует подставить выражения (49). Используя (49),
нетрудно получить
tg (со/ + ср) = сох/(су + ах), со/ + ср = arctg [<s)xl(cy + ах) ].
Учитывая последнее равенство и уравнения (42), нетрудно получить также
уравнение для фазы
ф = со [сЛ2 + (а + b) xyY1 х
X l-(a + b) ху + yfi (х, у) - xf2 (х, у)]. (31.51)
Уравнения типа (50) и (51), взятые после подстановки (49), хорошо
известны в теории нелинейных колебаний, близких к гармоническим. В этой
теории разработаны методы получения из них безвибрацион-ных уравнений для
амплитуды и фазы в различных приближениях (см., например, [2]). В первом
приближении для получения уравнения для амплитуды достаточно подставить
(49) в (50) и произвести усреднение правой части за период Т0 = 2л/со.
Это дает
А = Ч2(а+b) А + g(A), (31.52)
где
т
g (Л) = (сТ0Ау1 J [(ay - dx) Д (х, у) + (ах + су) /2 (х, у)] dt. (31.53)
о
Здесь в процессе интегрирования амплитуда Л считается постоянной. Функция
(53) содержит нелинейные по Л члены, причем g (--А) = g (А). При учете
флуктуационных воздействий вместо
(42) следует брать уравнения
х = ах + су + Д (х, у) + I (/),
у = dx + by + Д (х, у) + Т) (/) (31.54)
380
((?) = (л) = 0). При этом вместо (52) будем иметь А = 1/2 (а + b) А + g
(Л) + ? (t),
(31.55)
где
t (t) = (сА) 1 [(ay - dx) 1+ (ах + су) х\ ] ^
= с-1 (a cos Ф - со sin Ф) % (t) + л (t) cos Ф
(31.56)
(Ф = со t + ср) (использовано (49)). Коррелятор случайной функции ? (t)
также можно усреднить за период. В некоторых случаях для вывода уравнения
(52) или (55) могут потребоваться более высокие приближения.
Благодаря переходу от уравнений (54) к (55) двухкомпонентный фазовый
переход свелся к однокомпонентному. Род фазового перехода определяется
знаком функции g (Л) при малых Л; если g (А) <0 при очень малых Л, то
фазовый переход является переходом второго рода (это соответствует
мягкому возбуждению автоколебаний); если g (Л) > 0, то будем иметь
фазовый переход первого рода (жесткое возбуждение автоколебаний). В
первом из этих случаев при помощи уравнения (55), полученного для малых
амплитуд, можно исследовать не только переход от отсутствия колебаний к
автоколебаниям, но и обратный переход от наличия автоколебаний к их
отсутствию.
В заключение этого пункта отметим, что, строго говоря, среднее значение
шума ? в (55) не равно нулю вследствие корреляций между амплитудой и
фазой в выражении (56) (а именно, имеем (С) = = const-Л-1). Чтобы
избавиться от этого члена, следует полагать w (Л) = const-Л ехр (-Т
(Л)/и) вместо равенства w (Л) = = const-exp (-V (Л)/х). Поскольку учет
(С) не вносит принципиальных изменений, этим средним можно пренебречь.
8. Пример колебательного фазового перехода-брюсселятор. В качестве
примера рассмотрим трехмолекулярную автокаталитическую химическую
реакцию. Пусть в условиях открытой системы протекают такие реакции:
k j ft 2
где А, В, X, Y, D, G обозначают химические символы реагентов.
Предположим, что причиной неравновесности является быстрое и непрерывное
удаление продуктов реакций D и G. Поэтому константы реакций k_2, /г_4
можно положить равными нулю. Кроме того, для упрощения уравнений реакций
целесообразно положить &_i = k_3 = 0. Тогда реакции (57) будут
