Условные марковские процессы и их применение к теории оптимального управления - Стратонович Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
dLt(t)=dLpr(t) + ±-xdtyi;
N
dL(t) = dLor it) + - x dy-. - x2dt.
N 2N
Поэтому основное уравнение (5.66) оптимальной фильтрации, определяющее
апостериорную плотность распределения, имеет вид
dwt(x) = - + [x - mpsx)wt -
-~lx2-Mpsx2]wt, (9.19)
211
или, короче,
w = - - [а (х) w] + - \у1 [х - М л:] -
2 W дх ' N V1 ps
мя
J ... w(x)dxy
2. Рассмотрим несколько более сложный случай. Пусть процесс {л: (t)
}такой же, что и в предыдущем пункте, но наблюдается не его сумма с белым
шумом, а сумма
y{t) = x{t) + l{t)
с экспоненциально-коррелированным гауссовым процессом ? (t) (М ? (t) = 0;
М ? (i) ? (t + т) = а2е~^). Последний является марковским и описывается
инфинитезимальным оператором
I dt
' \ д? - д\ J
или уравнением
('
p-id? + ?d/ = d? (9.20)
М? = 0; МД?2 = NAt = 2 j- At
Двумерный процесс (л: (^), y(t)), естественно, также марковский; он имеет
параметры
ах = а(х); ау = а(х) - р? = а(х) - $(у - х)\
^ХХ Ьху\ (Ь Ь
ЪУХ Ьуу) \Ь ь + 2ра2
Мы видим, что наблюдается один компонент двумерного марковского процесса,
поэтому данный пример относится к тому случаю условного марковского
процесса, который исследовался в гл. 7. Более того, он является частным
случаем (при а' (?) = - Р? и постоянных b, b') первого примера из § 7.3.
Конкретизируя приведенные там формулы, имеем
(b + 2{5а2) dL (t) = bfio2dt -------1- [bdy + (2$о2а (х) -
Эх2
- bfrx -f b$y) dt] ~ -f (а (л:) +$х - ру) дх
dy (а (л:) +
+ рх - $у) Л J - [b^- - 2pV j
212
и
w = _b№ -____________- |7_gjL_ +
Ь + 2Рст2 д*2 дх [ \ Ъ + 2ра2
+р г°г'' 1+~С+)"]+ [F ~ M"f 1 ^
(6 + 2ра2) F = [а (х) + §х] (,у + $у)-- [а (х) + 0а]2 -
_J_ьда(х)_ 9>21j
2 дх
Можно показать, что уравнение (9.21) с вероятностью 1 переходит в
уравнение (9.19), если совершить предельный переход р оо, но так, чтобы
величина 2а2/р = N оставалась постоянной. При этом нужно учесть, что
$~ldy + ydt = р~xdx + xdt -f p~'dl + Idt
обращается в дифференциал dy\ процесса (9.18), так как Р~ldx + xdt
обращается в xdt, а выражение (9.20) есть дифференциал винеровского
процесса.
3. Любое из уравнений (9.19), (9.21) можно записать в виде
w(x) = B [G (x) wl + [F (х) - М F] w. (9.22)
дх2 дх
Будем выбирать оценочное значение а0 (t) =dt(yj) сигнала (dt(-)-решающая
функция) по критерию максимальной плотности вероятностей, т. е. выбирать
"наиболее вероятное" значение. В этом случае удобно положить
ОО
wt (х) = ехр |с (f) - ^ -L hn (t) [X - а'о (*)]"} (9.23)
п=2
и заменить уравнение (9.22) на систему уравнений для параметров Хо (t),
h2 (t), А3 (t),.... Заменяя (9.22) на уравнение для In wt(x), подставляя
(9.23) и приравнивая члены разложения по различным степеням (х- х0)п,
получаем систему уравнений
- й2х0 = Bh3 - G (х0) -j- (х0) - (А'о);
дх2 дх
п-1
hn - A"+iA0 = Bhn+2 - В hk+\hn-k+i -
k\(n - k)\
k=i
213
п-1
S/г! dkG , , . dn+xG , .
--------- -ту- *o An-ft+i + ¦ -¦ (x0) - (x0), (9.24)
k\ (n - k)\ dxk dx ^ dxn
k=0
n> 2.
При отсутствии начальных сведений начальные значения параметров hn можно
полагать нулевыми h2 (t0) = Ы {h) = ¦¦¦ = = 0.
Оптимальная фильтрующая система работает в соответствии с приведенными
уравнениями и дает на выходе оценочное, т. е. отфильтрованное значение
сигнала х0 (t). Как видно из (9.22), оно (при h2 > 0) действительно
соответствует максимуму функции Wt{x). Величина второго параметра /г2 (t)
позволяет судить о качестве фильтрации, показывая степень апостериорной
точности.
§ 9.5. ПЕРЕХОД К ЛИНЕЙНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ
1. Как видно из примеров, приведенный в § 9.3, 9.4, основное уравнение
оптимальной фильтрации часто записывается для бесконечного числа
переменных: плотности распределения вероятностей или заменяющего ее
счетного множества параметров. С точки зрения практического осуществления
фильтрующей системы, конечно, желательно иметь дело с конечным числом
переменных. Это может быть достигнуто путем "квантования" фазового
пространства условного процесса (замены его на пространство с "конечным
числом состояний) или путем обрывания цепочки уравнений типа
(9.17) или (9.24).
Конечно, в общем случае указанные приемы связаны с ухудшением качества
фильтрации. В некоторых особых случаях, однако, уравнение для плотности
распределения без каких-либо погрешностей может быть заменено на
уравнения для конечного числа параметров, в точности ему эквивалентные.
Это имеет место, когда апостериорная плотность распределения является в
точности гауссовой.
Рассмотрим многомерный аналог уравнения (9.22), имеющий вид
w (х) = ~д?дхр W w]~J^[Ga (х) w] + W " МрЛ и".
(9.25)
где Вар (х), Ga(x), F (х) некоторые функции времени t и точки х= (*>,...,
хг) л-мерного пространства Rr, определяемые теорией условных марковских
процессов. Уравнения подобного типа получаются, в частности, в тех
случаях, которые рассматривались в гл. 7 и в конце гл. 6 (если а(/) -
диффузионный процесс).
214
Сформулируем условия, при которых апостериорная плотность wt (х) будет
гауссовой, если гауссовой является начальная плотность wt о (х).
