Условные марковские процессы и их применение к теории оптимального управления - Стратонович Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
которое с вероятностью 1 не пусто (разумеется, нетривиальная задача
имеется только в том случае, когда допустимое множество состоит более чем
из одной точки).
В случае конечного процесса, когда расширение заканчивается
через,конечное число шагов, к задаче непосредственно могут быть применены
результаты предыдущего параграфа. При бесконечном процессе требуется
обобщение результатов §7.1 на случай счетного диффузионного процесса. Мы
не будем рассматривать этого обобщения, а ограничимся замечанием, что для
практически интересных случаев все основные формулы из § 7.1 ив этом
случае сохранят свой вид и не будут содержать бесконечных сумм. Причина
этого в том, что в формулы входят лишь невырожденные компоненты у9>, а в
процессе {у9, */~>...} имеется лишь конечное число невырожденных
компонентов (ранг матрицы локальных дисперсий не может превосходить т).
Таким образом, формулы предыдущего параграфа дают решение общей задачи,
хотя вопрос обоснования в бесконечном случае осложняется.
В следующем параграфе будет рассмотрен пример, для которого описанное
расширение процесса быстро заканчи-
п о ртрст
§ 7.3. ДВА ПРИМЕРА
1. Рассмотрим сначала пример, к которому непосредственно приложимы
результаты § 7.1. Пусть наблюдается сумма y(t)=x(t)+^(t) двух независимых
однокомпонентных диффузионных процессов x(t) и Первый из них
пусть
характеризуется параметрами а(х, t), b(x, t), а второй - а'Ц, t), br{%,
t). (пусть эти функции непрерывны, а также дифференцируемы по х и ?,
соответственно). Требуется исследовать апостериорный процесс x(t).
Рассмотрим двумерный диффузионный процесс {x(t),y(t) }, Он
характеризуется параметрами сноса аа = а\ = а(х, t), а? = а2 = а(х, t)
+а'(у-х, t) и матрицей локальных дисперсий
Ьц ьп ь (X, t) b(x, t)
Ьц ^22 I b (X, 0 b(x, t) + b' (у - X, t)
150
66'
at
Будем предполагать, что b + b' += О и ^ (х, t) = О.
(|, t) =0. Тогда условия теорем 7.1 и 7.2 оказываются
".-г
выполненными (l=l'= 1, параметры оу- Ь9"а-Ьа-Л-ал- при этом не приходится
рассматривать). Применяя теорему 7.2 и конкретизируя (7.4), получаем
апостериорный инфините-зимальный оператор
dL* = -a + a' d'y+fadt-] -----------d'y)- + - b t *
6 + 6' \ 6 + 6' V dx 2
dx2
(7.24)
Симметризованный оператор (7.16) имеет вид
dL =
а + а' 6 + 6' 6
- (а + а') dt
д (а + а') I 6а'
6 + 6'
ду
dt +
~т[
+ | adt+ ~j~r~[dy - (а + a')dt]^~- + +±bdt-*-, Ъ=-^~.
1 2 дх2 6 + 6'
Далее, формулы (7.17), (7.18) записываются в виде
dL = ¦ - - [а + а- - Mps (а + а')] -
0 + 0
1 'dt
2 6 + 6
- [(а + а')2 -Mps (а + а')
Д | 6 Г 6 (а + а'
2 \ 6 + 6' L
м
PS
д (а + а') дх
+
+ _^-м да
ду
6 + 6
, , аб' - 6а' ,,
- dy 4------------------------- dt
6 + 6'
дх
+
+ ±М-*-
2 ' дх2
dL
Г 6 . . об'-ба' , . г <?1пУ, (*,#!)
= --------------da 4--------------dt + b-------------------dt
L [6 + 6' >¦ 1 ^
dx
В (7.25)
6 + 6'
i 1 'd2
-)------------/л//---------
1 2 dx2
Mps ... = j ... \Wt (dx) = j ... wt(x) dx,
(7.25)
dxa ^
(7.26)
151
если апостериорная вероятность Wt(dx) имеет плотность Wt(x). Принимая во
внимание (7.25), запишем уравнение (7.19) для апостериорной плотности
распределения
dwt = - bdt
дх
{
Ь + Ь'
dy +
ab
~~Ъ
dF
л] o'*} +wt[dF - mpsdF\, lLjdy_-L(fl + a') dt^~
-т[
a + a' Ь + Ь' Ь
д(а + а') дх
да'
dt.
Ь + Ь' дх ду
Наконец, приведем уравнения (5.58), (5.64), которому удовлетворяет
функция У" (х, ^i), входящая в (7.26). Оно имеет вид
1 ~ d*V?(x,R{)
- dt Vt (X, R.) = - bdt *----------------- +
* V 1 2 dx2
+
b + b'
dy-
ab' - 6a' 6 + 6'
dt
dVtu(x, Rt) dx
+ dF ¦ V"(x,R1y
При необходимости могут быть выписаны и другие уравнения, соответствующие
данному случаю.
2, В качестве второго примера рассмотрим изотропную диффузию в трехмерном
пространстве с координатами Х\, х2, х3, где имеется центрально
симметричное силовое поле, опи-сываемое потенциальной функцией H(r), r =
Yx\ + xl+x\-Выражаясь иначе, принимаем следующий вид априорного
инфинитезимального оператора:
dL
рг
1=1
дЦ д D_ д2
дх[ дхс 2
(7.27)
Пусть наблюдаемой функцией является полярный угол
*2 (О
Уз (0 = arc tg
*3 (О
(7.28)
Требуется исследовать апостериорный процесс.
Данную задачу удобно рассматривать в координатах
(zlt 22, г3) = (г, р, у3), где Р = Уxl + х\ , так что
= Р sin у3; х3 - р cos у3.
h = Vr2
¦р2;
152
Легко .получить в этих переменных параметры сноса
(alt а2, as) = ^ -+ -
и матрицу локальных дисперсий
U', о
ц> ¦ dU(r) dr
1 p 0
r
_p_ 1 0
r
0 0 1
P2
(7.29>
Когда наблюдается координата г/з(0. условие теоремы 7.1 не выполнено, так
как локальная дисперсия ^зз = р~2 зависит от других координат (именно от
координаты г2 = р). В соответствии со сказанным в § 7.2 можно расширить
наблюдаемый процесс, добавив " уз функцию b33 или, что эквивалентно*
функцию y2(t)=p. Таким образом, наблюдение одной координаты yz{t)
эквивалентно наблюдению двух координат {yz(t), Уз^)} ¦ Матрица локальных
дисперсий
D 1 °
О р-
соответствующая этим наблюдаемым процессам, является невырожденной и ее
