Квантовые вычисления - Стин Э.
Скачать (прямая ссылка):
неизмеренных кубитов случайно совпадают с требуемым: |00) + |11). Если же
результаты не совпадают - кубиты отбрасываются. Посредством подобных
рекурсивных проверок из множества зацепленных пар кубитов с помехами
отфильтровывается несколько качественных пар. Уже обладая данным
зацепленным состоянием, Алиса и Боб могут связываться посредством
телепортации. Более подробное описание можно найти у Беннетта (Bennett
et. al. 1996).
Опираясь на подобные идеи и значительно развив их, ван Энк (van Enk et.
al. 1997) продемонстрировал способ надежной передачи квантовой информации
между атомами, находящимися в удаленных друг от друга HQ оптических
резонаторах посредством неидеальных оптических волокон.
Ниже в общих чертах будут показаны основные принципы QEC.
Запишем наихудший из возможных вариантов изменений, которым может быть
подвержен кубит: общий случай абсолютного (т. е. полного) взаимодействия
кубита с окружающей средой:
|е,-)(а|0) + Ь|1)) -> а(соо|еоо)|0) + coil^oi)11)) +
+ &(сю|ею)|1) + сц|ец)|0)), (42)
гДе |е...) обозначает состояния окружающей среды, а с... - коэффициенты,
зависящие от помех. Прежде всего важно отметить, что данное выражение
общего взаимодействия можно записать в следующем виде:
|е{)\ф) -> (|ei)I + \ех)Х + |еу)У + МВД, (43)
где |ф) = а|0) + Ь| 1) - начальное состояние кубита, а |е/) = сц|е0о) + +
сю|ею), \ех) = Coi|eoi) + cu|eii) и т.д. Заметим, что состояния
окружающей среды не обязательно являются нормализованными. Из уравнения
(43) становится ясно, что существует три основных типа ошибок,
90
Глава 9
которые необходимо исправить: X, Y и Z. Это: ошибка "переброса бита"
(ДГ), фазовая ошибка (Z) и одновременное появление данных ошибок (У =
XZ). Предположим, что компьютер q оперирует к кубитами квантовой
информации. Пусть общее состояние к кубитов есть \ф). Первым действием
будет увеличение сложности компьютера и определение для последующих п - к
кубитов состояния |0). Обозначим новую систему через qc. Осуществляем
операцию "кодирования": ?(|ф)|0)) = \Фе)-Пусть теперь помехи действуют на
п кубитов системы qc. Сохраняя общность изложения, помехи могут быт
представлены как набор "ошибочных операций" М, где каждая операция
является тензорным произведением п операторов (один оператор на каждый
кубит), выбранных из множества {/, X, Y, Z}. Например, М = IiXihYiZ^Xeli
при п = 7.
Общее зашумленное состояние:
?|е")М8|фе>. (44)
8
Введем в рассмотрение еще некоторое количество кубитов: т. е.
дополнительные п - к кубитов, находящихся в состоянии |0)а. Назовем
данное дополнительное множество "вспомогательным". Для любой заданной
операции кодирования существует операция определения синдрома А,
действующая на общую систему, состоящую из систем qc и а. Эффект действия
данного оператора определяется как Д(М8)|фе)|0)а = = (М8|фе))|в)а) для
любых Ma € S. Множество S представляет собой множество исправляемых
ошибок и зависит от операции кодирования. В обозначении |s)a, s является
двоичным символом и определяет используемый оператор ошибки Мв. Как
следствие, состояния |s)a являются взаимно ортогональными. Для простоты
изложения предположим, что общее состояние с помехами (см. уравнение
(44)) содержит лишь оператор М8 € S. В этом случае после операции
определения синдрома системы qc и а можно представить в виде:
5>8)(М8|фе"|з)а. (45)
8
После этого измеряем вспомогательное состояние и получаем поразительный
результат: все состояние переходит в состояние |е8)(М8|фе)а)1а)а при
некотором определенном значении з. В этом случае уже необходимо учитывать
не общий вид помех, а лишь один определенный опера-
Исправление квантовых ошибок
91
тор ошибки Ms. Более того, посредством данного измерения находится
величина s ("синдром ошибки"), с помощью которой можно определить
имеющийся оператор М3. Опираясь на полученную информацию, применим
оператор М"1 к системе qc посредством нескольких квантовых гейтов (X, Y
или Z), создавая, таким образом, конечное состояние |е")|фе)|з)а- Другими
словами, осуществляется восстановление состояния системы qc, свободного
от помех! Конечное состояние окружающей среды является нематериальным,
поэтому можно заново создать вспомогательное состояние |0)а с целью
дальнейшего его использования.
Выше было сделано единственное предположение о том, что помехи,
определяемые уравнением (44), содержат лишь операторы ошибок,
принадлежащие множеству исправляемых ошибок S. На практике, операторы
ошибок могут как принадлежать, так и не принадлежать множеству 5, и
величина, выражающая вероятность того, что данное состояние перейдет в
исправляемое после определения синдрома, имеет существенное значение.
Именно здесь вступает в силу теория кодов, исправляющих ошибки: задача
заключается в нахождении таких операторов кодирования и определения
синдрома Е, А, чтобы множество S содержало лишь исправляемые ошибки,
включая все те ошибки, вероятность появления которых очень велика. Данная
