Квантовые вычисления - Стин Э.
Скачать (прямая ссылка):
(Shankar, 1980).
1. Состояние изолированной системы Q выражается посредством вектора
\ф(Ь))в гильбертовом пространстве.
2. Такие переменные, как положение и импульс называются наблюдаемыми
величинами и представляются посредством эрмитовых операторов. Операторы
положения и импульса X, Р содержат в собственном базисе оператора X
следующие матричные элементы:
(ж|_Х'|ат/) = х8(х - х'),
(х|Р|х') = -ih8'( х - х').
3. Вектор состояния подчиняется уравнению Шредингера
ihft\xт = н\т), (21)
где Н - квантовый оператор Гамильтона (гамильтониан).
4. Постулат об измерениях.
Четвертый постулат, который не очевиден, является в какой-то степени
спорным, поскольку совершенно различные объясняющие его подходы дают одни
и те же прогнозы, а само понятие "измерение" в квантовой механике можно
истолковать по-разному (Wheeler and Zurek 1983, Bell 1987, Reres 1993).
Положение, справедливое для большинства практических случаев, заключается
в том, что определенные физические взаимодействия являются
распознаваемыми "измерениями", а их влияние на вектор состояния \ф)
состоит в изменении данного вектора на собственное состояние |fc)
измеряемой переменной. Причем выбор величины к является случайным, с
вероятностью Р ос |{fc|i/>)|a.
Квантовая физика против физики классической
45
Переход |ф) -> |fc) выражается посредством оператора проектирования (\k)
(к\)/(k\ip).
Необходимо отметить, что в соответствии с вышеуказанными уравнениями
эволюция изолированной квантовой системы всегда единична. Другими
словами, вектор состояния может быть выражен как IV'(t)) = U(t)\ip(0)),
где U(t) = exp(-iH dt/h) - унитарный оператор, UU^ = I. Однако сложность
заключается в том, что не существует абсолютно изолированной системы (т.
е. такой системы, которая не взаимодействует с другими системами), кроме,
возможно, всей Вселенной. Таким образом, в описании реальных систем
всегда присутствует некоторое приближение, содержащееся в уравнении
Шредингера.
Один из способов учета данных приближений - это описание как системы Q,
так и той среды Т, в которой она находится. Эволюция системы Q в первую
очередь определяется уравнением Шредингера, но взаимодействие системы со
средой Т частично имеет характер измерения системы Q. Следствием этого
взаимодействия является неединичная составляющая в эволюции системы Q.
поскольку проекции уже не унитарны. Данное явление называется потерей
когерентности. Все вышеуказанное потребуется для дальнейшего изложения.
Уже сейчас можно постепенно начать объединять физику и обработку
информации, поскольку очевидно, что большинство природных процессов
вокруг нас могут рассматриваться как формы обработки информации, а с
другой стороны, современные компьютеры способны имитировать различные
явления Природы. Здесь возникают очевидные, хотя и в некоторой степени
неточные вопросы:
1. Может ли Природа по своей сути рассматриваться как информационный
процессор? И можно ли из этого извлечь пользу?
2. Может ли компьютер имитировать все процессы Природы?
В соответствии с законами квантовой механики ответ на первый вопрос будет
"да"1, поскольку вектор состояния \ф), занимающий центральное положение в
квантовой механике, является понятием очень схожим с таким же понятием в
науке об информации: данный вектор - это абстрактная величина, содержащая
практически всю информацию
1Это совсем не означает, что подобное высказывание охватывает все, что
можно сказать о Природе. Оно лишь является удобной абстракцией на
описательном уровне физики. Я считаю, что физические "законы"
недостаточны для, например, полного описания поведения человека,
поскольку являются достаточно приближенными, что не оставляет людям места
для свободы действий. (Polkinghorne 1994).
46
Глава 4
о системе Q. Определение "практически всю" является напоминанием не
только о том, что вектор |ф) полностью описывает систему Q, но и том, что
данный вектор не содержит какую-либо постороннюю информацию, не связанную
с системой Q. Значение вышесказанного для квантовой статистики газов
Ферми и Бозе было указано во введении.
Второй вопрос может быть уточнен путем преобразования тезиса Чёрча-
Тьюринга в физический закон:
Изменение любой реальной конечной физической системы может быть как
угодно точно сымитировано на вычислительной машине, работающей с
универсальными моделями, за конечное число шагов.
Этот закон опирается на закон Дойча (1985). Идея заключается в том, чтобы
рассматривать этот закон не как следствие положений квантовой механики, а
подобно другим законам (например, закону сохранения энергии), как ее
фундамент. Определение "реальная конечная" и "конечное число шагов" имеют
значение при формулировке каких-либо положений.
Новый вариант тезиса Чёрча-Тьюринга (который теперь называется "закон
Чёрча-Тьюринга") не имеет отношения к машинам Тьюринга. Это очень важно,
поскольку между самой природой машины Тьюринга и законами квантовой
механики существуют фундаментальные различия. Машина Тьюринга описывается
