Основные задачи математической физики - Стеклов В.А.
Скачать (прямая ссылка):
потенциала простого слоя *).
Функция V, как показывает сам способ ее построения, удовлетворяет
формально условию (91). Можно показать, что она действительно
удовлетворяет этому условию, какова бы ни была заданная функция /
(непрерывная на поверхности (5)), для значений X, модуль которых не
превосходит некоторого числа, меньшего единицы, но мы на этом
останавливаться не станем, а покажем, что радиус сходимости ряда (92)
может быть сделан при соответствующем выборе функции f сколь угодно
большим.
и составим по формулам (93) функции Vk, соответствующие этому значению /.
Каждая из функций Vk представится в виде линейной однородной функции от
коэффициентов ак.
Возьмем функцию
где а и Р - какие угодно постоянные, а к - какое либо целое число. Функ
ция i/также будет линейной однородной функцией р параметров ак. По ложим
На основании теоремы Пуанкаре - Зарембы числом р и постоянными ак можно
распорядиться так, что будет
где m есть постоянная, которую можно сделать сколь угодно близкой к
единице, выбрав число р достаточно, большим (см. п. 20) **).
В силу (112) получаем У = а2У* + 2а0У* *+1 +/)2 У*+|, У' = а2 J'k + +
2а/ЗУ*'*+1 +02У*+1- При помощи этих равенств приводам неравенства (113) к
виду
a2(mJ'k - Jk) + 2aP(mJ'kk+l У*,*+.) +
+ 02("iy*+, - Jk* i) > 0,
a2(mJk - Jk) + 2a($(mJk k+l - Jk k+,) +
+ (}2(mJk+l - У*+,) > 0. (114)
*) Cm. n. 35. (Прим. ред.)
**) Если взять число р достаточно большим, то постоянные а,, .... ар
можно выбрать не зависящими от коэффициентов а и U (Прим. ред.)
Положим
/=а,/, +а2/2 + ... +apfp
(111.)
t/ = aVk+pVk+t,
(112)
У<тУ\ У' < mJ,
(113)
411
Заменив в первом из этих неравенств /3 на - /3, получим a2(mJ'k - Jk) -
2а0(тУ^ к+1 - •/*,*+1) + P2(mJk+, - У*+1)>0. Сложив это неравенство с
(114), придем к следующему: а2(т - 1)(У* + У*) + 2а(}(т + 1)(У*,*+! -
J'k,k+i) +
+ р2(т- 1)(У*+, + У;+,)>0,
левая часть которого всегда неотрицательная квадратичная форма двух
аргументов а и р. Дискриминат этой формы должен быть неотрицательным,
т.е. должно иметь место неравенство
(т - I)2 (У* + У*) (У*+, + + I)2 (У*,*ч, - Jk,k^f ,
которое при помощи (99) и принятых в п. 24 обозначений приводится к виду
Wk+JWk<q2, (115)
/ т - 1 \2
где положено q = 1 I . Число q в силу сказанного вьпне может быть
сделано сколь угодно близким к нулю при соответствующем выборе числа р и
постоянных ак; иначе говоря, l/q можно сделать сколь угодно большим.
29. Итак, взяв какое угодно целое число к, можно найти такую
совокупность (Dk) постоянных а;, для которой в. силу неравенств (102)
будут соблюдаться неравенства
W2/Wt < W3/W2 < ... < wk+l lwk < q2. (116)
Но постоянными <xj можно распорядиться и так, чтобы имели место
неравенства
W2lWt < W3/W2 < ... < Wk+ilWk < Wk+2lWk+i <q2. (116,)
Так как неравенство Wk+2/Wk+l < q2 влечет за собой все неравенства (116)
(в силу (102)), то совокупность (?>*+,) значений а,, при которых имеют
место неравенства (116,), целиком заключается в совокупности (Dk).
Увеличивая постепенно число к, получим последовательный ряд совокупности
значений а/:
(Рк), (Dk+,), ..., (?>*+"), ...,
где п есть какое угодно целое число, из которых каждая будет заключаться
в каждой из всех ей предшествующих. Так как при любом данном к
совокупность (Dk) есть совокупность вполне определенная, то тем же
свойством обладает й совокупность (?>*+"), в ней заключающаяся, и это
справедливо при любом л.
Отсюда следует, что существует вполне определенная совокупность таких
значений ау, для которых неравенство (115) будет справедливо при любом
к*).
• *) Если под (Dk) (к = 1,2,...) понимать множество векторов (а, ар),
лежащих на единичной сфере р-мерного пространства (для которых
справедливы неравенства (116)), то получим систему вложенных друг в
друга, очевидно, замкнутых множеств, которая имеет хотя бы одну общую
точку. Так как эта общая точка (а,,
..., ар) лежит на единичной сфере, то а\ + ... + ар=1 Ф 0. {Прим. ред.)
412
Таким образом, мы можем утверждать, что существует такая совокупность
значений ау, при которых будет иметь место неравенство
¦VW *
/ = lim - , > - .
* - y/W^ ч
где q есть число, сколь угодно близкое к нулю.
Так как по предыдущему радиус р круга равномерной сходимости ряда (92)
как раз равен /, то можно, следовательно, найти такую совокупность
значений постоянных а*, что рассматриваемый ряд при указанном выборе
исходной функции / (см. (111,)) будет равномерно сходящимся при всех
значениях X, модуль которых небольше наперед заданного числа А:
30. Покажем теперь, что при указанном выборе функции / функция V,
определяемая рядом (92), представляется в виде потенциала простого слоя.:
В п. 26 было показано, что этот ряд сходится абсолютно для положительных
значений X, меньших /. Так как соответствующим выбором функции /, как
доказано в предыдущем пункте, число / можно сделать бблыпим наперед
заданного числа А, то при X = А ряд
IK, I +XlH2l + ... +Х* 1Н*1 + ...
будет сходящимся.
Следовательно, начиная с некоторого значения к, во всяком случае будем
