Основные задачи математической физики - Стеклов В.А.
Скачать (прямая ссылка):
= (У* + У*)(У*+1 + y* + i), т.е.
H'jt+i/"'*=c/*+i + y;+i)/(y* + y;)< к don
Применив затем неравенство Коши - Буняковского к равенству (100),
получаем W* + I < V* W*+2 ¦ Это неравенство, и (101) показывают, что,
какова бы нц была заданная функция /.интегралы Wk всегда удовлетворяют
следующим неравенствам Шварца:
W2/Wt < W3/W2 < ... < Wk+jWk < ... < 1. (102)
26. Предположим для простоты, что X сохраняет положительные значения, и
покажем, что ряд (92) сходится абсолютно и равномерно на поверхности (S),
пока X < 1, какова бы ни была исходная функция / в равенствах (93).
407
Мы уже доказали в гл. II, что функция Vk связаны между собой на
поверхности (5) соотношениями
1 cos р
vk= - S vk_x ~ ds. (103)
2я г
Пусть ро - какая-либо точка поверхности (5); строим опять цилиндр
вращения радиуса R <D с осью, направленной по нормали л к (5) в точке Ро,
и обозначим, как в п. 19 гл. I, через da элемент поверхности площадки
(о), вырезанной на (5) взятым цилиндром, через ds' - элемент поверхности
части (5) . лежащей вне (о). Для всякой точки р площадки(о), как показано
в гл. I (неравенства (124,) п. 38),
I г cos ip/cos# | <ср2*), cos#>l/2,
где, напомним, p есть расстояние точки р от оси цилиндра. Отсюда
lcosipl/r2 < ср2/г3 < с/р и
1 I COS р
Кг*" - *
< 2сМк _, R,
где Мк _ | есть максимум Wk_x I на поверхности (5).
Очевидно, далее, что
II cosip ,1 1 / , , cosJip A 1/2
*1 = - \SVk_, ------------- ds < - I JF|_, ds'f -7- ds') <
2я Г #¦* 12я V r4 /
1 / , COS2 p A1/2
Так как
cos2 p . S
а в силу леммы I гл. IV (п. 26)
/ ъук-1 \2
fVl-ids < ) dT = l0Wk_x,
то
1
*'-27
cos р I V S/0' ,-------,
J Vk_x -------~ dsx < r- y/Wk-X .
* r2 I 2nR * 1
Заметив, что I Vk | < К +KX, получаем
Mk < A y/Wk_x + BRMk_,, (104)
где А и В - определенные постоянные, зависящие только от вида поверхности
(S).
Неравенство (104) справедливо при всяком к, начиная с к = 2.
*) Значок 0 всюду опускаем. 408
Давая в (104) значку к ряд последовательных значений и складывая
полученные неравенства, умноженные на Л*~1, находим
2 Л*"1 Мк < А 2 Л*"1 7 +
к=2 к-2
+ BRX 2 \к~х Mk+BR\Mt,
к -2
ИЛИ
(1 -BRX) 2 \к~хМк <А 2 Л*"1 ^Wt.i' + BRXMi. (105)
к-2 к-2
sfwT
Положим / = lim - -------- . Число R всегда можно выбрать так, чтобы
y/Wk+i
BR < 1//. (106)
оо ^
Ряд 2 Хк_| V Wk _ | ' сходится для всех значений X, меньших/, ибо
к - 2
радиус круга сходимости этого ряда равен /. Для всех этих значений X, в
силу условия (106), 1 - BRX > 0. Следовательно, на основании (105) радиус
р' круга сходимости ряда
М1+Ш2+\2М3+ ... +\к~х Мк+ ...
не меньше /. Итак,
9 >1-
Радиус р круга сходимости ряда (92) во всяком случае не менее р'.
Следовательно
р> р > I. (107)
/ ЪУ2 ЪУ2 е \
27. Умножим теперь ряд (92) на I ---------------:--------------- left
и интегрируем
\ Ъп Ъп г
результат по всей поверхности (S). Получим ряд
- v . / ъу2 i ЗИ2 f \
Л(Х)= 2 X / Kk I -^ left. (108)
к = I \ Ъп Ъп Г
Радиус р" круга сходимости этого ряда не менее радиуса р круга сходимости
ряда (92), т.е.
р" >9. (109)
Заменив в (108) X на - X, получим ряд /?(-X), радиус круга сходимос-
ти которого есть также р".
Радиус р'" круга сходимости ряда Л(Х) - Л(-X) во всяком случае не меньше
р", т.е.
П/v. Н ¦ /4 ,АЧ
Р > 9 ¦ (ПО)
Имеем
Л(Х)-Л(-Х)=2Х 2 X2<k-'> /К1к( )cft.
к = I \ Эл Ъп г
409
При помощи формул преобразования Грина и равенства (96) получаем / ЭК,.(
ЭV,., \ , _ I bV,K, bVtk,' \,
i7" Г'/К,(т"------------------------------5Г'Г
, ,, { дУзк-и , ЭК2*_|,е \ _
Н"'",! . \ , ,,, / >У>-1
и, вообще,
, " / ЭН2,| 3K2ie ^ / 3KJ+2,/ 3K, + 2ie \
"M's- 5ГГ-
где s - какое угодно целое число, мешйнее 2к. Положив s ~ к - 1, получим
./ ЭР,., "гг.< ^ ,
... . I "П.м эк*",., ^______________
ш,Ук"(~п ъг
Следовательно,
Л(Х) -R(- Х) = 2Х 2 XJ(*_,) Wk+i.
к= I
Это равенство показывает, что
... _ , р = lim --¦¦¦. - * /.
V ^*+ I
Сопоставляя это неравенство с (ПО) и (109), заключаем, что р</. Это
последнее неравенство и (107) приводят к заключению, что
р= lim -7=7 = /. (ПО,)
y/Wk+t
Итак, радиус равномерной сходимости ряда (92) на поверхности (S) в
точности равен /, т.е. ряд этот сходится равномерно при всех значениях
параметра X, модуль которых меньше единицы, ибо, на основании неравенств
(102),
yfwT
lim -==!- > 1.
*-•" V wk+1
какова бы ни была функция /. Отсюда на основании теоремы Вито Вольтер-ра
(гл. I) заключаем, что ряд (92) сходится равномерно при указанных
значениях X во всей области (D) и представляет функцию, гармоническую
внутри (S).
28. Та же теорема, имеющая место и для области {О/ ), внешней
относительно (S), показывает, что ряд (92) сходится равномерно и вне (S)
и
410
представляет гармоническую функцию в области (О ), пока IX I < 1.
(111)
Так как все Vk по самому построению суть потенциалы простого слоя, то,
очевидно, У, = Ve = V, т.е. гармоническая внутри и вне (S) функция V,
определяемая рядом (92) для значений X, удовлетворяющих условию (111),
непрерывна во всем пространстве и, следовательно, представляется в виде
