Прикладные методы нелинейных колебаний - Старжинский В.М.
Скачать (прямая ссылка):
[227].
1.1. Замечание о коэффициентах диагонального вида. Рассмотрим колебания
системы с к степенями свободы, описываемые векторным уравнением
v + Pv = f (v, v), (1.1)
где v = (гх, . . ., VnY, Р - вещественная симметрическая к X к матрица, f
- вектор-функция аналитическая в некоторой окрестности нулевых значений
аргументов. Допустим, что собственные значения матрицы Р, будучи
вещественными, положительны, обозначим их (ох (со* ^>0; и - 1, . . ., к).
Пусть S - неособая матрица (которую можно выбрать ортогональной),
приводящая матрицу Р к диагональному виду, т. е.
Р = S diag (со? со?) S-1.
Линейное преобразовании v = Su приводит'систему (1.1) к виду iix -р со\иК
= 2
+ 2 4" EtjfiUiUa -р 2 FafitUaUpUf -р
+ S-^M%My+[4] (и = 1,.. • ,к), (1.2)
160
НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ 4-ГО И 6-ГО ПОРЯДКА [ГЛ. VII
где не выписаны формы четвертой и более высоких степеней относительно
переменных иг, . . иц, щ, . . ., йц. Представим (1.2) в виде системы 2к
уравнений первого порядка и приведем линейную часть, системы к
диагональному виду линейной подстановкой (см. (VI,1,1.2) и (VI,1,1.3))
Xj = u,-i (i =/^1, ) = + 1, :.., + ?), (1.3)
Их ~ {x^x xx) = Re
i (i.4)
йК = - ico* (xK - x_K) = - cox Im xK (x=l,...,k),
где co_x = - coK (x = 1 ,. . ., k). Очевидно имеем
х-у. = Хк (к = 1, . . ., k). (1.5)
После преобразований получим
(1.6)
Будем различать случаи:
а) Если правая часть (1.2) содержит только разложения по их ,. . ., иц
(т. е. для форм второй и третьей степени правая часть
(1.2) состоит лишь из первой и второй сумм), то коэффициенты
a)h, bpiM- • • в (1.6) чисто мнимые [227].
б) Если правая часть (1.2) содержит только разложения по "1, . . йк (т.
е. для форм второй и третьей степени правая часть (П2) состоит лишь из
третьей и четвертой сумм), то коэффициенты форм четной степени в (1.6)
(например, ар,) - чисто мнимые, а коэффициенты форм нечетной степени
(например, Ьра) - вещественные).
в) Наличие только перекрестных членов (последние три суммы) в (1.2)
приведет к вещественным коэффициентам при квадратичных членах в (1.6);
предпоследняя сумма в (1.2) также приведет к вещественным коэффициентам в
формах третьей степени в (1.6), а последняя сумма з (1.6) - к чисто
мнимым коэффициентам в формах третьей степени в (1.6).
1.2. Приведение к нормальной форме. Рассмотрим вещественную автономную
систему четвертого порядка в предположении, что линейная часть системы,
имеющая две пары различных сопряженных чисто мнимых собственных значений,
приведена к
dxv dt
= Ш./Х., -f- '^^ajkXjXfr -f- '^^bjhi%jXhxl -f- . . .
-4' -x
(v = -+-1, • • • , + k).
СИСТЕМЫ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА
161
диагональной форме
= Кхч + ^ a]hXjXh + ^ b]h4xfxhxk + ... (2.1)
(v = +l, + 2).
Ниже индексы суммирования всюду принимают значения ± 1, ±2; A_v = Av, не
нарушая общности, положим A_i = - i, А.! = i, А_2 = - Ai, А2 = Xi (0 < X
< 1); коэффициенты а]),, вообще говоря, - комплексные (см. п. 1.1),
причем, подчеркнем, и, симметризованные
ahj = ajh, b\jhl} = i. d. (2.2)
где, напомним, {сф ... со} обозначает любую перестановку чисел а, р, . .
., со; i. d.- idem (то же самое).
По основной теореме А. Д. Брюно (п. V, 1.2) существует об-ра!имая
комплексная замена переменных (нормализующее преобразование)
xi = Уj "Ь "Ь ^1$1тпУ1УтУп "Ь • • • (/ = + 1> + 2), (2.3)
(&'ml = Рцтп} = i- d.), приводящая систему (2.1) к нормальной форме
= х,у, + у. Yj 8*оУ-1уТу-?У2 О2-4)
(Л, Q)-О (v = + l, + 2).
Здесь
Q = (q-i, ди g-г, g*Y,
(Л, Q) = + Axgx + A_2?2 + A2?2 =
= i t(gi - g-i) + (g2 - g_2)],
g_x, qu ?_2, ?2 суть целые числа или нули, при этом ?v >
- 1,
а остальные q} - неотрицательны (?_i + ?i + q~2 + <7г > 1).
Итак, в нормальную форму входят только резонансные члены, показатели
степеней которых удовлетворяют резонансному уравнению
(Л, Q) = 0, т. е. дх - ?._! + X (?2 - ?_2) = 0. (2.5)
Рассмотрим возможность появления в (2.4) резонансных членов r-й степени,
для которых
g-i + gi + д-2 + да = г - 1 (г> 2)- (2.6)
Уравнение (2.5) при любом А 6Е (0, 1) допускает тривиальное решение ¦
g-i = gi, д-2 = д2 (2-7)
6 D. М. Старжинский
162
НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ 4-го И 6-го ПОРЯДКА
[ГЛ. VIIJ
и нетривиальное решение
X = 9~1 ; (2.8)
?2 -9-2 V '
последнее в силу условий О <С X <С 1 и (2.6) сопровождается ограничениями
О < | ?-i - | < | g2 - ?-2 | < г- (2-9)
Для квадратичных членов (г = 2) тривиальное решение невозможно (так же
как и вообще для форм чётной степени), ибо в силу (2.6) и (2.7) сумма
двух четных чисел не может равняться нечетному числу. Нетривиальное
решение возможно
.1 -лишь при л = -j- и даст нам для резонансных членов уравнении
(2.4) соответственно
Q_x = (-1, 0, 2, 0), Q, = (О, -1, 0, 2),
Q-г = (1, 0, -1, 1), Q2 = (0, 1, 1, -1).
Для членов третьей степени (г = 3) тривиальное решение (2.7) даст нам
Qv = (1, 1, 0, 0) и Q, = (О, О, 1, 1) (v = if 1, =f 2).
Нетривиальное решение возможно лишь при X = у и даст нам для
резонансных членов дополнительно к тривиальному решению еще и Q_x = (- 1,
