Прикладные методы нелинейных колебаний - Старжинский В.М.
Скачать (прямая ссылка):
у0, т. е. для которых р0 = 0. Из второго уравнения (4.2) имеем (dp/dx)0 =
0, следовательно, для этих решений р (т) = 0. Подчиним сколь угодно малое
начальное значение 4 условию
sign 4 = sign 40.
Как следует из первого уравнения (4.2), для таких решений будем иметь
I у о (т) I > 14о 14 т,
что и означает неустойчивость тривиального решения системы (4.2) при #00
Ф1 0.
II. Допустим, что ада = 0, но а?_! Ф 0, Re ah Ф 0. Разделив первое
уравнение (4.2) на второе, получим
dif о _ а1-1 Р dp Rea^ Уо '
и отсюда найдем первый интеграл системы (4.2) (при ада = 0):
Очевидно, при условиях
ада = 0, aJ^Re ah < 0 (4.3)
тривиальное решение системы (4.2) устойчиво (начало координат
является центром), а при условиях
ада = 0, aJ^Re ah > 0
тривиальное решение системы (4.2) неустойчиво (начало коорди-
нат является седлом).
III. Допустим, что ада = а?_! = 0, Re ah Ф 0. Из первого уравнения (4.2)
имеем у0 (т) = 4* Выбирая 4 из условия sign 4 - sign Re ah, будем иметь
для таких решений в силу второго уравнения (4.2), что р -*¦ оо при т -*¦
оо и р0>0,- тривиальное решение системы (4.2) неустойчиво.
IV. Допустим, наконец, что aj}0 =" Re ajj = 0, a(r)_! Ф 0. Второе уравнение
(4.2) дает нам р (т) == р0. Траектория, для которой
146 НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ СИСТЕМ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА [ГЛ. VII
sign Уо = sign a?_l5 р0 > 0, уходит в бесконечность; опять-таки
неустойчивость.
Итак, тривиальное решение системы (4.2) (а следовательно, и укороченной
системы (4.1)) устойчиво лишь при условиях (4.3). Случай а^о = "i-i = Re
= 0 требует исследования по членам не ниже третьей степени.
Замечание. Критический случай одного нулевого и пары чисто мнимых корней
для установившихся движений рассмотрен Г. В. Каменковым ([54], т. I) и И.
Г. Малкиным ([79в], § 96). Подчеркнем, что система (4.2) содержит всего
лишь три коэффициента, что вместе с условием неотрицательности г)
переменной р и определило специфику исследования по сравнению с общим
случаем ([79в], §§ 94, 96). Однако мы не можем утверждать, что
нормализующее преобразование (и, следовательно, нормальная форма) может
быть выбрано аналитическим в окрестности нуля. Это обстоятельство не
позволяет перенести суждения об устойчивости тривиального решения системы
(4.2) на устойчивость невозмущенного движения (тривиального решения
исходной системы
(1,1.1) при 8 = 0). Заметим, что при aj0 =j= 0 неподвижная точка будет
неустойчивой не только в укороченной, но и в полной системе (4.2). Это
соответствует гипотезе 2 [234и], которая еще не доказана. Применять ее
нужно к решению р = 0. Если же выполнены условия (4.3), то укороченная
система обладает устойчивостью нейтрального типа, которая может быть
изменена на неустойчивость влиянием неучтенных членов более высокой
степени.
2.5. Интегрирование нормальной формы в квадратичном приближении.
Вернемся к укороченной системе (4.2). Рассмотрим сначала частные случаи,
понимая ниже под квадратным корнем его арифметическое значение.
1) Допустим, что Re = 0, a^o ф 0, aJ_j. Ф 0. Второе уравнение (4.2)
дает р = р0, а первое - запишется в виде
= alyl + 2 a?-1Р0
и после интегрирования дает нам
а) если а = aoo/(2"i-i) > 0, то
Ро * "ооРо
.. *+&*1Га
У о --------
•т
Га У% аооР"
tg-ттг-т
Ро 1,6 Уа
х) Для применения теоремы Н. Г. Четаева о неустойчивости необходимо
наличие области, содержащей внутри себя отрезок оси у"(см.[79 в], стр.
414), что невозможно при 0.
§ 2] СЛУЧАЙ НЕЙТРАЛЬНОСТИ ЛИНЕЙНОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ 147
б) если а < 0, то
у,- д.(к= vzH~r'
V-a 1 -кеп \ У - a i/(r) + р0 /- а )
(здесь и ниже т0 = 0, у\ = у0 (0)).
2) Допустим, что Re = aj0 = 0, a?_! Ф 0. Решение
систе-
мы (4.2) очевидно:
Р = Ро. Уо = 2aJ_1poT + I/o.
3) Допустим, что Re ajx = a?_i = 0, a^o ф 0. Решение
систе-
мы (4.2) также очевидно:
(1 0 \ -1 -з a00Tj .
4) Допустим, что aJo = 0, а?_! Ф 0, Re ajx Ф 0. Разделив первое уравнение
(4.2) на второе и проинтегрировав, получим первый интеграл системы (4.2)
Уо-г/Г=-^т-(Р2-Ро).
aoi
Подставляя этот интеграл в первое уравнение (4.2), будем иметь -
d^=2Real1(yl-R) (r = - Л±- .
dX
Аналогично 1) рассмотрим следующие случаи:
а) Если R < 0 (что возможно лишь при aJ^/Re ah ф 0), то
У°0 + tg (2 V=r Re air)
У0-1 r " "6 r Уо " ^0
-r==-tg (2
Re \
\ sec2 (2 /- R Re аф)
fl ^Ltg(2/-flReaJ1ir)"1 L V - R
б) Если R = 0 (что опять-таки возможно лишь при al-JRe ah ф 0), то
90=(¦т'~2 Re'*Т• pl " 'tt (t "2 Re ^'T ¦
148
НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ СИСТЕМ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА [ГЛ. VII
в) Если R 0, то
(УR - yl) eKz -(VR + y§
Я-Кх
(VR-y°0)eK' + (Vlt+y00)e-Kz
(K = 2\fR ReaJi), (5.1)
- 4-
Reai
¦R(R - yt)[(VД- Уо) eK' + (VR+ У>~кT1
Очевидно, что p (oo) = 0, a y0 (oo) = - YR при Re ah 0 и y0 (oo) = YR при
Re ah <; 0 и в плоскости py0 каждое решение системы (4.2) описывает дугу
эллипса (5.1) одним из двух способов (в зависимости от sign Re a^), как
показано на рис. 12.
Заметим, что случай в) при любых начальных значениях р", у\ (р" + у% ]>
0) возможен лишь при условиях (4.3).
5) Допустим, что a?-i = 0, а(r)0 ф 0, Re ah Ф 0. В этом случае
