Физика полностью ионизованного газа - Спитцер Л.
Скачать (прямая ссылка):
wn а\7 ,В
W1 = 2В ’ 0-Ї1)
где а — радиус вращения, определяемый формулой
(1.4), a — градиент скаляра В в плоскости, перпендикулярной к В. За исключением коэффициента '/г,
28
Глава I
соотношение (1.11) нетрудно получить из соображений размерности1).
Аналогично этому дрейф возникает также при движении частицы CO скоростью ДО|| вдоль искривленной силовой линии с радиусом кривизны R. Введем новую систему координат, вращающуюся с угловой скоростью wїї/У? вокруг центра кривизны поля. В этой системе координат частицы не движутся вдоль силовой линии, но центробежная сила mmj IR вызывает такой же дрейф, как и гравитационная сила той же самой величины. Используя уравнение (1.10), получаем
Если токов в плазме нет, то VXB равно нулю и Vx В/В равно I/R. Тогда из соотношения (1.11) и
(1.12) находим
с-13)
Оба дрейфа происходят в одном и том же направлении; для положительно заряженной частицы wD имеет направление BX V В, а для частицы с отрицательным зарядом направление дрейфа изменяется на противоположное.
Если электрическое и магнитное поля меняются во времени, то в приближении первого порядка появляются дополнительные дрейфы. Точнее говоря, если при движении ведущего центра векторное произведение ExВ/В2 изменяется во времени, то возникает дрейф, являющийся величиной первого порядка ПО 1/©с и более высокого порядка относительно 1/В.
¦) В неоднородном поле B1-=B (х) действующая на частицу центростремительная сила равна qw^[B + (dB/dx)x], где значения В и dB/dx взяты в «центре» орбиты (х = у 0). Умножая это выражение на —х/а и усредняя по орбите (х2 = Vae2), найдем среднее значение силы Fx, которая и вызывает, как легко видеть, дрейф, описываемый формулой (1.11). — Прим. ред,
Движение заряженной частицы
29
Все эти дрейфы первого порядка по 1/(ос детально изучил Нортроп [7].
г. Удержание в аксиально симметричных полях. Вообще говоря, рассмотренные выше дрейфы, конечно, оказывают влияние на удержание заряженных частиц в магнитном поле, и это представляет интерес как для астрофизической плазмы, так и для плазмы в лабораторных условиях. Однако можно строго доказать, что дрейфы не влияют на удержание плазмы в случае аксиальной симметрии электрического и магнитного полей, если кинетическая энергия не слишком велика; точнее говоря, в этом случае заряженная частица колеблется вблизи поверхности постоянного магнитного потока, образованной вращением какой-либо магнитной силовой линии вокруг оси симметрии.
Чтобы получить этот результат, спроектируем уравнение (1.1) на направление 0, что даст величину ускорения вокруг оси симметрии. Поскольку мы предположили, что электрический потенциал U и магнитное поле В не зависит от 0, электростатическая часть поля Zj9 равна нулю. Если считать, что В не зависит от времени, то наведенное электрическое поле E отсутствует, и Et обращается в нуль. Чтобы упростить член WzBr-WrBzt введем функцию Ф(г, г), представляющую собой магнитный поток через круг радиуса г в плоскости г=const. В дифференциальной форме уравнение, определяющее Ф, имеет вид
1Т=-їкгВг. (1.14)
Используя условие V-B = O и полагая производную дБ JdQ равной нулю, находим
^- = -2 «гВг. (1.15)
Проекцию уравнения (1.1) на 0, дающую изменение момента количества движения под действием момента
зо
Глава і
сил, теперь можно непосредственно проинтегрировать; получаем
г) = Ct (1.16)
где С — постоянная. Компонента магнитного поля может быть произвольной функцией гиг, что не оказывает влияния на полученный результат.
Исходя из уравнений Максвелла, легко показать, что если В зависит от времени, то 2тсгЕв равно —бФ/dt; в этом случае уравнение (1.16) остается справедливым, но Ф зависит не только от г и г, но и от t. Из электродинамики известно, что Ф/2яг представляет собой 0-составляющую обычного вектор-потенциала, а уравнение (1.16)—это известный закон сохранения обобщенного момента количества движения в отсутствие внешнего момента сил. Этот результат сохраняется и при релятивистских скоростях, если под m понимать поперечную релятивистскую массу, а не массу покоя.
Уравнение (1.16) позволяет продемонстрировать условия, при которых можно удержать частицу. Для простоты ограничимся здесь случаем, когда траектория не замыкается вокруг оси симметрии и, следовательно, скорость Wn дважды обращается в нуль за один оборот. Когда скорость Wi равна нулю, формула (1.16) дает простую связь между г иг; функ^ цию г і, определяемую таким образом, обозначим Л(г, С). Поскольку Ф представляет собой, по определению, магнитный поток через круг радиуса г, ясно, что Ф постоянен вдоль силовой линии. Отсюда следует, что точки, в которых обращается в нуль, лежат на поверхности, образуемой вращением некоторой силовой линии вокруг оси симметрии; мы назовем эту поверхность поверхностью постоянного потока. Различным поверхностям соответствуют различные значения постоянной С. При своем вращении частица все время пересекает в прямом и обратном направлениях поверхность ПОСТОЯННОГО потока Tl (2, С).
Движение заряженной частицы
