Теоретическая физика 20 века - Смородинский Я.А.
Скачать (прямая ссылка):
к* (*)(*'
k (3.6>
g(k2)= ^ / (x)e~ik x dv.
Здесь мы воспользовались тем, что f(x) убывает очень быстро, вследствие
чего интегрирование (3.4) по V2 (х + у) дает в (3.6)< множитель V.
Положим
М*)==а(*)+Ф(*). (3.7)
Тогда
cp = F2's (**)[<**(*)+ Р*(*)Ъ (3.8)
к
причем 2# означает суммирование только по полупростран-
k
ству к. В этом полупространстве все а (к) и р (к) независимы
друг от друга. В частности, они статистически независимы,
поскольку в соответствии с (%3.3) ср определяет распределение
вероятностей для них. Поэтому находим
и(х)|1 (у)=2в**-'-*)+№)]=т2* (39)
к к
Чтобы исследовать поведение (3.9) для больших значений (х - у), разложим
g(k2) в ряд по степеням к2:
S (*2) = §0 + §1к* + • • • (3. Ю)
Заменяя теперь в (3.9) сумму интегралом и воспользовавшись
(3.10), получаем
(311)
т. е. формулу Орнштейна и Цернике. Флуктуации числа молей N в объеме v
выражаются формулой
AN2= ^ dvx jj dvy]x,(x)\x,(y). (3.12>
Если корреляционная функция (3.11) отлична от нуля на расстояниях, малых
по сравнению с линейными размерами и, та
Статистическая механика
207
получаем
ЛЛ^ = ^. (3.13)
Сравнивая это с (3.1), находим
*>--???• <зл4>
Вблизи критической точки др/д§ исчезает, а следовательно, и g0 обращается
в нуль. Тогда флуктуации становятся аномальными:
длг2~~у5/з. (3.15)
Покажем теперь, какой феноменологический смысл имеет gx. Применяя
разложение (3.10), напишем
Ф (I*) = у go § P2dv + Ygi J (grad ц)2 dv. (3.16)
V V .
Рассмотрим объем v с линейными размерами, большими по сравнению с
(gi/go)1/2, и зададим вопрос о наиболее вероятной флуктуации р(ас),
соответствующей заданному AN. Это значит, что надо найти минимум (3.16)
при дополнительном условии
J \i(x)dv = AN = \i0v. (3.17)
v
Если мы обозначим решение этой вариационной задачи р-длг(ас), то
ф[цдлг]=ф(М'о) будет иметь смысл вероятности найти флуктуацию AN в v.
Внутри v решение \i&n(x) практически совпадает с [х0 и обращается в нуль
вблизи граничной поверхности. Там ! grad и-Aiv | изменяется как 1/2
Mgo/giYh^V { - {go/giYh-r}, где г означает расстояние от граничной
поверхности v. Находим
Ф (h>) --J^o{gov + -J (gogif2 °} . (3 18)
причем О - поверхность, окружающая объем v. Таким образом, флуктуации AN
внутри v приводят к появлению поверхностного натяжения 1/8 (gogi)1^^"
которым можно пренебрегать во всех случаях, когда у1/з > (gi/go)l/2-
Следовательно, в то время как в случае нормальных флуктуаций gx входит
только в малые поверхностные поправки, в критической точке флук-
208
Маркус Фирц
туации определяются значением gx. Роккар [17], впервые рассмотревший
члены ^g1 и связавший их с капиллярными силами, получил с помощью
газокинетических соображений значение чхог2/6 для gl9 причем а -
постоянная Ван дер Ваальса в уравнении
{p + ^)(v-b)=RT,
а о - радиус действия молекулярных сил. По порядку величины эта оценка,
вероятно, правильна. Однако ввиду непоследовательности своих рассуждений
Роккар не получил в заключение формулы Орнштейна и Цернике (3.4), которая
хорошо подтверждается на критических смесях (ср. [27]).
§ 4. ФЛУКТУАЦИИ ПЛОТНОСТИ В ИДЕАЛЬНОМ КВАНТОВОМ ГАЗЕ
Изложенная в § 3 теория флуктуаций плотности носит полу-•
феноменологический характер и существенно опирается на связь между
свободной энергией и вероятностью в каноническом распределении. Для
идеального квантового газа, в котором аномальные флуктуации, как
известно, происходят в области вырождения, можно построить теорию,
основанную только на статистической механике. Флуктуации эти оказываются
разными для статистик Бозе - Эйнштейна и Ферми - Дирака.
В своей работе о парамагнетизме щелочных металлов Паули [18] первый
указал на характерное различие обоих случаев в этом отношении. Введение к
этой работе, заложившей основы теории металлов, содержит также первое
ясное обсуждение идеального бозе-и ферми-газа с помощью большого
распределения Гиббса.
Рассмотрим сначала бозе-газ, который описывается квантованной волновой
функцией ф. Для удобства будем считать объем V периодическим. Тогда
(4Л>
k
причем ak подчиняются перестановочным соотношениям
aha* - a* ah - 6hl, a*ak = Nh. (4.2)
Оператор плотности q (ж) определяется соотношением
Q(*)*=.4rSaftra"ei(fc~,>'* (4,3>
ft,
Статистическая механика
209
причем
6 (я) 6 (у) =уг 2 KaiamaneHk-l)x+Hn~m)y- (4.4)
Усредним теперь соотношения (4.3) и (4.4) по распределению, в котором
фазы ak независимы. Это дает
При этом мы использовали перестановочные соотношения для ah. Далее
Теперь совершим предельный переход V -> оо при фиксированном N/V. При
этом из сумм (4.5) и (4.6) следует выделить в явном виде член,
соответствующий основному состоянию (Л^); остальную часть сумм затем
можно заменить интегралом. Полагая
(е ((r)) в (у)) - (б)2 = 2бо6 (г) + & (г) + (Q) 6 (х - у), (4.8)
причем р0 -плотность в основном состоянии. Функцию Ь(г) можно вычислить,
подставляя в (4.7) значения Nh, получаемые из большого канонического
распределения
(4 5)
ft
ft
<е(я)е(у)> =(-f)2+-w21 адв4<к-') <*-">+
