Теоретическая физика 20 века - Смородинский Я.А.
Скачать (прямая ссылка):
/2= ^ da" А (а") / (t; а", а', а).
Поэтому (1.10) можно записать в виде
A (t) = da" Л (a") ^ jP (?; a", a) | С (a) |2 da -f
-f- ^ da" .A (a") ^ J (t\ a", a', a) C* (a') С (a) da' da. (1.14)
Предполагая, что C(a) некогерентны, можно пренебречь вторым,
интерференционным, членом по сравнению с первым. В этом случае эволюция
A(t) определяется только функцией P(t; a", а), которая выражает,
очевидно, вероятность найти состояние а" в момент времени t, если при t=0
система была в состоянии а. Ван Хов вывел для P{t\ a", а) интегро-
дифферен-циальное уравнение, из которого при малых К следует уравнение
Паули (1.8).
Предположение, что коэффициенты С(а) некогерентны (это гипотеза,
беспорядка для t-0) в этом случае является достаточным, тогда как Паули
предполагал, что фазы состояний должны быть всегда некогерентными.
Поэтому вывод транспортного уравнения (1.8) ван Ховом безусловно
представляет шаг вперед. Справедливо также, что фазы С (а) не влияют на
математическое ожидание А(0), так что предположение об их неко-
герентности можно оправдать, сказав, что если наблюдатель много раз
изготовляет макроскопическое состояние, характеризуемое математическими
ожиданиями операторов А, то дальнейшая эволюция во времени в среднем
описывается первым членом уравнения (1.14). Хотя в отдельных случаях
интерференционный член может оказаться по порядку величины сравнимым с
первым членом, однако это происходит только при весьма специальной
зависимости С (а) от фаз. Это утверждение еще нуждается в математическом
уточнении. Однако, по-видимому, в пределе /= оо интерференционный член
должен быть "почти всегда" исчезающе малым.
В заключение отметим еще, что предположение о диагональ-ности операторов
А относительно переменных а представляет собой слишком сильную
схематизацию макроскопических наблюдаемых величин. Например, для газовой
модели перемен-
Статистическая механика
199
ные а будут числами заполнения состояний свободных частиц п(к). В этом
случае пространственная плотность е(^) не будет макроскопической
переменной даже при условии, что q усредняется по малым, но
макроскопическим объемам. Конечно, <если бы удалось, а это, по-моему, не
безнадежно, доказать, что интерференционный член относительно мал для
макроскопических наблюдаемых А и "почти для всех" значений фаз С (а), то
со схематическим отображением макроскопических состояний можно было бы
примириться.
Исследование ван Хова уже теперь проливает новый свет на эргодическую
проблему, поскольку в нем переход в термодинамическое равновесие ставится
в связь с особыми свойствами макроскопических систем и наблюдаемых в них
величин.
§ 2. СТАТИСТИЧЕСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ИХ СВЯЗЬ С ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИМ
ОПИСАНИЕМ
В эргодической системе, энергия которой равна Е, среднее по времени
значение макроскопической функции состояния
g(E, а) определяется равенством
g(E)^g(E,a)^.
а
Если мы представим себе статистический ансамбль, состоящий из очень
большого числа одинаковых систем, фазовые точки которых распределены на
энергетической оболочке с постоянной плотностью 1/Q (Е), то
статистические средние значения
функций g(E, а) будут равны их средним по времени.
В этом случае с формальной точки зрения статистическое распределение
может заменить временное распределение. Назовем его, следуя Гиббсу,
"микроканоническим распределением". Если определить вслед за Больцманом
энтропию S(E, а) состояния (Е, а) равенством
S (Е, а) = к lg QEi а, (2.1)
то ее среднее значение будет
= (2.2)
а
В соответствии со сказанным в § 1, в сумме (2.2) по а существенны только
наибольшие слагаемые, которые можно считать
200
Маркус Фирц
одинаковыми (измеряя их в единицах /). Поэтому (2.2) можно заменить на
k[lgQ(E)-lgJf]4
причем М - число существенных слагаемых. Конечно, М -это число состояний
с максимальной и приблизительно одинаковой энтропией, которые можно
различать макроскопически. Если теперь взять в качестве М какое-нибудь
физически приемлемое число, то 1 gM будет все-таки пренебрежимо малым по
сравнению с /. Поэтому с хорошей точностью выполняется равенства
S (Е) - S (Е) = /с lg Q (Е). (2.3)
Строго говоря, S(E)>iS(E), причем это различие соответствует энтропии
среднего спонтанного отклонения системы от термодинамического равновесия.
Мы будем называть S(E) "микрокано-нической" энтропией. Это энтропия
термодинамического равновесия.
Как известно, это утверждение доказывается с помощью рассмотрения систем
1 и 2, очень слабо связанных энергетически. Если энергии этих систем
равны Е1 и Е2, то их суммарный фазовый объем будет равен Q1(E1)Q2(E2);
поэтому их суммарная энтропия равна
S^Ej^S^EJ + S^EJ. (2.4)
Равновесию при заданной суммарной энергии Е^Е2 соответствует только такое
значение Ех, при котором (2.4) достигает максимальной величины
dSi _ dS2 (Е - Ех) дЕг дЕ
(2.5)
Если положить
ds __ 1 дЕ Т
(2.6)
то символ Т должен означать абсолютную температуру, потому что в
равновесии температуры обеих систем одинаковы. При дифференцировании
