Теоретическая физика 20 века - Смородинский Я.А.
Скачать (прямая ссылка):
фу (я) = 0фу (я) = ( - 1)п фу (- я) Для однозначного представления,
ф; (х) = 0фу И = г (- 1)Лфу (- л:) Для двузначного представления.
(5.10)
Это преобразование 0 обладает существенным свойством:
0-ф* = (0ф)*, т. е. оно сохраняет действительность величин* существующую
вначале2). Требование, чтобы преобразование 0 представляло
антиавтоморфизм теории, обусловлено, разумеется* определенным выбором о в
(5.5). Из уравнений
(0) (1) (N)
(<!\ Ы (*l) • • • ^ М)0 =
ОТ (1) (0)
= (^лг) • • - TlJvj (^i) tl>v0 (ж0)>0 Vх11'
*) Другими словами, теория инвариантна по отношению к антиунитар-
ному преобразованию 0'ip='ip' поскольку правая часть уравнения
(5.9) записывается в виде
(0) (1) (ЛГ) *
<К0 (*о) tvx (хх) ••• (xn)) о •
2) Как мы видели в § 1, наиболее естественное на первый взгляд условие Ф
для всех полей и о=1 в (5.5) противоре-
чит этому требованию. Кроме того, в § 6 мы увидим, что значение о в (5.5)
не может быть произвольным и должно подчиняться ограничениям,
обусловленным положительно определенной метрикой в пространстве
состояний. Бинормальной теории эти ограничения запрещают значение 0,
указанное в этом примечании.
Принцип Паули и группа Лоренца
157
с учетом (5.10) и (5.9) следует, что о - - 1, если число двузначных полей
в (5.5) равно удвоенному нечетному числу, и о = + 1, если число
двузначных полей в (5.5) кратно 4. Других случаев не бывает, так как
средние значения по вакууму с нечетным числом двузначных полей равны
нулю. Это значение о совпадает со знаком перестановки двузначных полей в
уравнении (5.5). Таким образом, получается следующая теорема.
Теорема СРТ: Перестановочные соотношения (5.5),
в которых о есть знак перестановки полей с двузначными представлениями,
эквивалентны (5.11), где штрихованные поля определяются преобразованием
(5.10).
4) Остановимся теперь на этом выборе о и кратко обсудим слабую
локальность. Хорошо известно, что главная проблема математического
характера состоит для теории поля в том, чтобы установить, допускают ли
вообще нетривиальное решение общие постулаты квантовой теории вместе с
требованием (сильной) локальности. При этом слова "нетривиальное решение"
означают, что матрица рассеяния должна отличаться от единичной матрицы.
Нам кажется излишним подчеркивать удручающее состояние наших знаний в
этом вопросе.
Для слабой локальности этой проблемы не существует. В соответствии с
полученной выше теоремой слабая локальность полностью эквивалентна
симметрии 0. Легко доказать, что последняя согласуется с другими
постулатами квантовой теории. Следовательно, всякой матрице рассеяния,
инвариантной относительности СРТ, можно сопоставить поля, подчиняющиеся
условию (5.11), т. е. слабо локальные.
Напротив, сильная локальность приводит не к свойствам симметрии матрицы
рассеяния, а к аналитическим свойствам матричных элементов, или в
несколько обобщенном смысле, к дисперсионным соотношениям [28, 34].
§ 6. СВЯЗЬ СПИНА И СТАТИСТИКИ *)
В то время как значение о в (5.5) оставалось до сих пор неизвестным,
теорема о спине и статистике в своей наиболее узкой формулировке
указывает, каким должно быть значение а для усредненного по вакууму
произведения некоторого поля на комплексно-сопряженное поле. Отсюда можно
тогда заклю-
!) См. [32].
158 Pec Иост
чить, какие из полей фу (х) безусловно не коммутируют с ф* (у} для
пространственно-подобных интервалов.
В этом параграфе впервые будет существенно использоваться положительность
скалярного произведения. Правда, уже
п - ? в § 5 мы применяли поле ф , комплексно-сопряженное полю ф.
Однако там требовалось лишь, чтобы существовало эрмитовоскалярное
произведение. Справедлива следующая теорема:
Теорема. Обозначим ^...(х^, сокращенно сим-
волом v. Из слабого перестановочного соотношения
(г|)* (")^ц(2/))о = (-1)"+т+1(^ц(2/)^* (ж)>о (6-1)
для (х - у)2< 0 следует
фг (х) Q = ф* (х) Q = 0. (6.2)
При этом Q означает состояние вакуума.
Замечания. 1) Уравнение (6.1) в самом деле представляет собой слабое
перестановочное соотношение, так как, согласно теореме из § 4,
действительные векторы в тождественна
совпадают с пространственно-подобными векторами. 2) Равен-
ство (6.2) представляет собой сокращенную запись уравнения
г|) (/) Q = г|}* (/) Q = 0, (6.2а)
причем
t (/) = \ f ix) tn (х') dix (6.3)
И
t* (/)= (z)t* {x)dlx (6.3a)
являются операторами, усредненными по разрешенным пробным функциям.
Д о к азательство. Из (6.1) и (5.9) для произвольных х и у следует
(tv (z)tn(y))o= -(tn(-y)tv ( -ж)>0- (6.4)
Умножая обе стороны на f* (х) fl (у) и интегрируя по ж и у, получаем
II t (Л a IIs =-lit* Or) а II*. (6.5)
Принцип Паули и группа Лоренца 159^
где /*** ( - х) обозначено через g^(x). Из равенства (6.5) следует
утверждение теоремы1).
Наша теорема содержит существенное высказывание о спине и статистике, так
как она утверждает, что однозначное поле, удовлетворяющее условию
([ф* (я), i|v(2/)Uo = 0 для (х~~У)г < О,
уничтожает вакуум. То же самое справедливо для двузначного* поля, для
