Теоретическая физика 20 века - Смородинский Я.А.
Скачать (прямая ссылка):
вводит^ ся система координат, образованная собственными векторами | п)
соответствующего оператора Q, и волновая функция ф представляется в виде
разложения ф ~ 2ап|л)* Унитарность
п
метрики обеспечивает выполнение равенства (ф, ф) = 2|ап|2
п
и позволяет представить среднее значение Q величины Q в виде суммы Q =
На этих соотношениях основана
п
возможность последовательной вероятностной интерпретации результатов
эксперимента.
118
Ф. Вилларс
Эта схема принята также в релятивистской квантовой теории. Тесная связь
унитарной метрики с проблемой расходимостей приводит время от времени к
попыткам видоизменения принятой схемы. Это не означает отказа от обычной
интерпретации. В таких случаях физическое гильбертово пространство Нх
вкладывается в более широкое пространство Н - Нх-\- Н2, в котором оно
образует подпространство с унитарной метрикой. Расширение пространства
скажется на динамике,, если Нг не будет инвариантным подпространством, в
этом случае функция ф1 (проекция ф на Нх) не должна сохранять свою норму.
Предлагались различные способы обойти эту трудность. Гейзенберг [54]
пытался показать, что при надлежащем выборе свойств состояний,
принадлежащих Н2, можно добиться по крайней мере того, чтобы из
асимптотического соотношения
1|) (t = - со) g Н1
следовало бы
Ф =¦ + 00) ?
что гарантировало бы унитарность матрицы рассеяния для физических
состояний.
Другое предложение принадлежит Боголюбову [25], который указал, что
матрица реакции К всегда имеет эрмитову подматрицу Кг, принадлежащую Нх.
Согласно принятой им
ad hoc схеме, следует вычислить К в Н, выделить Кх из
К и
определить унитарную матрицу Sx обычным соотношением
л 1 -
1 = 1 - '
Понятие индефинитной метрики впервые ввел в 1942 г. Дирак [55], чтобы
устранить бесконечность собственной энергии электрона. Его метод легко
демонстрируется на примере гармонического осциллятора
H~^(p*+q% i[p,q} = 1. (5.1)
Обычный прием заключается в использовании подстановки
- - p~iq а* = . (5-2)
V2 ' У2 '
откуда получается
Н = ^-(а*а+аа+), [а,а+]=1. (5.3)
Регуляризация е квантовой теории поля
119
Собственные состояния | т) строятся путем определения основного состояния
|0) соотношением а 10) = 0 и возбужденных состояний | п) соотношениями
Определив сопряженные состояния (п| с помощью условия <0 | 0) = 1 и
(ап\т) = (гс| а+т), можно ввести скалярное произведение (гс| т),которое,
согласно правилу коммутации (5.3), равно бпт. Таким образом можно
построить в явном виде матричное представление операторов а, а+,
удовлетворяющих равенству (5.3):
Иного характера представление мы получаем из требования а+10) = 0.
Обозначим в этом случае а+ - b и а = Ь+, откуда [bb+] = - 1, Н = (со/2)
(bb+ + Ъ+Ь). Рассуждая как прежде, получаем, в частности,
и скалярное произведение (гс| т) оказывается равным (- l)nSnm. Мы
приходим, таким образом, к новому MaTpn4HOMyi представлению операторов, р
и q:
в котором метрика индефинитна.
Дирак ввел индефинитную метрику такого рода, заменив оператор поглощения
(при такой;замене коммутатор [А(х), А(х')] не меняется). На-помним, что
^-процесс приводил к инвариантному выражению для собственной энергии
электрона, которое все же расходилось при А -> 0 как А"2. После введения
индефинитной метрики эта остаточная собственная энергия тождественно
обращалась в нуль. Теперь этот вывод представляет только исторический
интерес, поскольку, как показал в 1943 г. Паули, в теории дырок эта схема
не проходит ни сама по себе, ни в соединении с A-процессом.
| п) - (п!)-1/2 (а+)п 10>.
а+|п) = (га+1)1/а|п+1), а | п) - п/г\п- 1),
(пЪ\т) = (п| Ь*т),
b*\n) = (n-f 1)1/г| п + 1),
b kn)= - п1/21п ~~ 1)>
120
Ф. Вилларс
В работе Пайса и Уленбека индефинитная метрика вводилась иным путем. Поле
со спектром масс описывалось гамильтонианом, -эквивалентным гамильтониану
для системы осцилляторов с энергиями, равными
± 2 1Г (/**+ Як)-
к
Используя вторую схему квантования для осцилляторов с отрицательной
энергией, можно было сохранить положительными собственные значения поля.
Тогда | 0) действительно "основное" состояние, но достигалось это за счет
введения переходов с отрицательной вероятностью в состояния с нечетным
числом Ь-квантов.
Частный случай: поле с двумя массами. Трудность, связанную с
существованием состоянии с отрицательной вероятностью перехода, можно
обойти, если потребовать, чтобы подобные состояния появлялись лишь в
виртуальных процессах. В этом случае можно построить унитарную ^-матрицу.
Основываясь на анализе модели Ли, Гейзенберг [56] указал, что подобную
схему можно построить, вводя вырожденный массовый дублет (слияние масс
нормальной V-частицы и "призрачного" состояния). Впоследствии Паули [57]
рассмотрел возможность использования для этой цели поля с двумя
комплексно-сопряженными массами. Мы кратко остановимся на этом случае,
чтобы показать, на каких соображениях основывалась такая возможность. Как
показали Пайс и Уленбек [22], реальное поле ср, удовлетворяющее уравнению
