Теоретическая физика 20 века - Смородинский Я.А.
Скачать (прямая ссылка):
о
условия регуляриза ии требуют, чтобы
R( 0) = ~ =О.
v ' ds ,?=0
Мы снова убеждаемся, что в методе Швингера все бесконечности возникают
из-за расходимости интеграла по s в окончательных выражениях при s - 0.
Подынтегральные выражения всегда корректно определены, конечны и
градиентно-инвариантны.
Изящное решение проблемы градиентной инвариантности, предложенное
Швингером, в значительной мере охладило надежды, что исследование
проблемы расходимостей в квантовой электродинамике прольет свет на вопрос
о том, как формулировать внутренне непротиворечивую конечную теорию.
Сейчас стало очевидным, что, приняв "перенормировочную философию", можно
однозначно извлекать конечные результаты из аппарата теории. Остаются
лишь упрямые вопросы о сходимости перенормированных рядов теории
возмущений и о значениях перенормировочных постоянных. Последнее слово
здесь, по всей вероятности, еще не сказано.
Регуляризация в квантовой теории поля
ИЗ
§ 5. ФОРМФАКТОРЫ И НЕЛОКАЛЬНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
Качественный успех нерелятивистской процедуры обрезания (например, в
мезон-нуклонном взаимодействии) хорошо известен. Неоднократно
предпринимались попытки найти релятивистское обобщение метода обрезания.
Для иллюстрации возникающих здесь трудностей мы введем локальное взаимо-
г*
действие типа g ^ dx (p(ac)Q(ac), где ф - бозонное поле, a q(oj) -
некоторый источник; это выражение описывает поглощение и испускание
одного кванта в точке х. Переход к нелокальному взаимодействию можно
осуществить, например, следующим образом:
8 ^ ф' 0") е (ж) dx>
ф'(act)^ ^ dx' dt'F(х - ж', t - t') ф {x','t'). (4 1)
Формфактор F содержит характерную длину г0; его компонента Фурье g(k)
может, например, иметь вид
(4.2)
В 1948 г. Макманус [47] и Пайерлс построили классическую электродинамику
со взаимодействием типа (4.1). Уравнения движения электрона становятся
интегро-дифференциальными и при малых ускорениях (dldt < с/г0) допускают
разложение по степеням г0. Собственные силы приводят к возникновению
конечной электромагнитной массы и обычному члену с радиационным
затуханием; внешние силы определяются средними значениями внешнего поля
со структурным фактором F.
Нас интересует сейчас, в какой мере при этом сохраняется причинное
описание физических систем, а также насколько возможно ввести упомянутые
результаты в квантовую теорию. Что касается первого вопроса, то речь
может идти только о макроскопической причинности. Чтобы удовлетворить
этому требованию, необходимо предположить конечный "радиус" формфактора.
Такие функции были успешно построены Макманусом и затем в квантовой
теории Блохом [48] и Шретьеном и Пайерл-сом [49]. Инвариантные
формфакторы F(x) должны подчиняться общему требованию - они не могут быть
функциями типа "функций распространения", или, другими словами, не могут
переносить какую-либо часть волнового пакета ф (зс, t) на макро-
8 Заказ № 214
114
Ф. Вилларс
скопическое расстояние. Функции распространения можно охарактеризовать
как мероморфные функции комплексного переменного к - они пропорциональны
1 /(/с2+ М\) и имеют полюса при значениях -/с2, равных квадратам масс
квантов М\, распространение которых они описывают. В качестве
формфакторов, как показали Шретьен и Пайерлс, допустимы функции с
полюсами при комплексных -/с2, например функция g(k), определенная
соотношением (4.2), а также целые функции или комбинации тех и других.
Более общий класс формфакторов возникает в квантовой теории, где
плотность заряда q имеет вид ф(я)ф(?), и (р(х)д(х) можно заменить более
общим выражением
jj d*y d*y' F (х, у, у') ф (ж) ф (у) i|) (у'). (4.3)
Такого рода трехточечные формфакторы рассматривались Блохом, а также
Кристенсеном и Мёллером [50].
Введение таких формфакторов в квантовую теорию поля ставит нетривиальный
вопрос об определении операторов поля. Для его решения можно, в
частности, обратиться к формализму, развитому Янгом и Фельдманом [51], а
также Челленом [52]; этот формализм основан на непосредственном
применении операторных уравнений движения, т. е. на использовании
операторов поля в представлении Гейзенберга. Уравнения поля записываются
как интегральные уравнения с граничными условиями, наложенными при ? = ±
оо. Например, уравнение
(?2-ц2) Ф(ж)= - gQ(x)= - g dy dy'F (хуу')у(у)ц(у') (4.4)
можно переписать двумя способами:
t
Ф (ж) 1= фШ (х) - ^ dx'ATet(x - х') Q (ж'), (4.5а)
ф (ж) = фоиг (х) - ^ dx9Дат (я -ж') q (ж'). (4.56)
Такой же прием можно применить к уравнениям для полей ф (х) и ф(я).
Сходящиеся и расходящиеся поля удовлетворяют однородным уравнениям ноля и
правилам коммутации (антикоммутации) для свободных полей. Систему
уравнений (4.5а) и (4.56) (и соответствующих уравнений для полей ф и ф)
можно решать методом итераций, и связь между сходящимися и расходящими-
Регуляризация с квантовой теории поля
115
с я полями последовательно устанавливается в итерации любого порядка.
Поскольку функции фш и \j)0ut представляют собой асимптотические
