Теоретическая физика 20 века - Смородинский Я.А.
Скачать (прямая ссылка):
системе с точностью до ±1.
Как показал Нейман [22], представление (5) приводимо, т. е. координаты в
четырехмерном пространстве можно выбрать так, что функции (ф1? ф2) и
функции (ф3, ф4) будут преобразовываться друг через друга. Если мир не
плоский, то на компоненты ф в любой точке можно по-прежнему
действовать подстановками
(5) и, следовательно, компоненты ф" в любой ортогональной
системе в любой точке определяются исходными функциями фа с точностью до
множителя ±1. Если заданы только две компоненты ф1? ф2 или ф3, ф4, то
подстановками Т можно действовать на эти компоненты.
Предположим теперь, что фа, at и дифференцируемою
функции координат Четыре заданных вектора Jih в заданной точке Р можно
параллельно перенести по некоторому пути в любом направлении и получить,
таким образом, систему отсчета в любой точке Р', лежащей в некоторой
окрестности точки Р. Пусть фа-координаты заданной волновой функции в этой
системе отсчета в Р'. Пользуясь соображениями непрерывности, можно
фиксировать множитель +1 при ф'. Тогда функция ф' представляет собой
дифференцируемую
272
Б. Ван дер Варден
функцию на пути РР'. Сравнивая ф' и ф в точке Р, можно образовать
ковариаитный дифференциал 6ф. Если путь определен так, что вдоль него
меняется только одна из координат то можно определить ковариантную
производную У^фа-Если путь направлен по вектору hk1 то можно также
определить компоненту У^фа по этому вектору и ввести ее в уравнение
Дирака вместо обычной производной дкфа. При этом получается инвариантное
уравнение
(ft 2 YftVft + 'wc)^ = 0. (6)
которое в плоском пространстве переходит в обычное уравнение Дирака.
Если определить матрицы соотношениями
(7)
то
Sy^SyXv^Sy^ (8)
И
Yvy^ = 2 gw. (9)
Тетроде и Шредингер пользовались произвольными матрицами ум-,
удовлетворяющими условиям (9). Как показал Дирак, наиболее общим решением
этих уравнений являются матрицы
T" = Sy*S-\ (10)
где частное решение определено равенством (7). Однако волновое уравнение
Шредингера не зависит от выбора 8, и мы можем просто пользоваться частным
решением (7). Кроме того, ковариантная производная Шредингера
эквивалентна производной, определенной Вейлем и Фоком, и потому волновые
уравнения Шредингера и Фока оказываются совпадающими
(ft 2 Y^ + тс) г|? = 0. (И)
В электромагнитном поле, определенном потенциалом Ф^, мы должны заменить
на
Полученное таким образом уравнение обладает свойством градиентной
инвариантности: если ф заменить на е^ф, а Ф^-
Принцип запрета и спин
273
на Фр,- Vn к (где к - произвольная дифференцируемая функция), то волновое
уравнение будет выполняться по-прежнему.
Формализм, использованный Инфельдом и мной, несколько проще формализма
Вейля и Фока, и много проще формализма Шредингера и Баргманна, однако
физические выводы всюду одинаковы. Основной вывод таков: волновое
уравнение Дирака, а на самом деле любое одночастичное волновое уравнение,
инвариантное в смысле частной теории относительности, можно ввести также
в общую теорию относительности.
§ 13. СПИНОРНЫЙ АНАЛИЗ
t Е. Weiss, Ein raumliches Analogen zum Hesseschen Ubertragungsprinzip
(E. В e й с с, - Пространственный аналоги принципу переноса Гесса),
Диссертация,
Бонн, 1924 г.
В. L. van der Waerden, Spinoranalyse (Б. Ван дер Варден, Спинорный
анализ),
Nach. Ges. Wiss., Gottingen, math.-phys., 100 (1929)
(доложено в июле 1929 г.).
Такие новые величины, как ф, с числом компонент, равным двум или четырем,
причем закон преобразования отличен от векторного или тензорного,
доставляли много беспокойства физикам. Эренфест назвал эти величины
спинорами. Во время своего визита в Гёттинген летом 1929 г. он спросил
меня: "Существует ли подобно тензорному анализу доступный для изучения
спинорный анализ, который позволил бы отыскать все возможные виды
спиноров и все возможные инвариантные соотношения между спинорами?"
Такой аппарат уже существовал в виде теории инвариантов бинарных форм,
которая была распространена Штуди и его школой в Бонне на случай форм,
зависящих от нескольких бинарных переменных1).
Начнем с уравнения светового кЬнуса в четырехмерном пространстве
x2 + y2-\-z2-c2t2 - 0. (1)
Его можно переписать следующим образом:
(х + iy) (X - iy) - (ct + z) (ct - 2) = 0
J) Лучшим учебником по этому вопросу, по-видимому, является книга Грейса
и Юнга [22].
1В Заказ № 214
274
В. Ван дер Варден
ИЛИ
х1х2 - х3х4 = 0.
(2)
В ковариантных координатах х^^8\нхк уравнение (2) имеет вид
Если хг,х2,х3,Х4 интерпретировать как однородные координаты в проективном
пространстве трех измерений, то (3) представляет собой уравнение
некоторой поверхности второго порядка. (На данном этапе нет необходимости
требовать действительности координат; хк - просто комплексные
переменные.) Хорошо известно, что на поверхности (3) лежат два семейства
прямых линий и эта поверхность допускает параметрическое представление:
Если предположить, что А,1 и А,2 - числа, комплексно-сопряженные к (I1 и
(I2, то первые две координаты хх и х2 будут комплексно-сопряженными, а
