Теоретическая физика 20 века - Смородинский Я.А.
Скачать (прямая ссылка):
трудностей понадобится более совершенная модель магнитного электрона,
включающая квадрупольный и более высокие члены.
По-видимому, Паули недооценивал важность и законченность своих методов и
результатов. Предложенное им описание состояния N электронов при помощи
ф-функции с не-
17 Заказ № 214
258
Б, Ван дер Варден
сколькими компонентами, преобразующимися по линейному двузначному
представлению группы вращения, являлось фундаментальным и окончательным.
Оно позволило Вигнеру и Нейману обосновать все эмпирические правила
систематики атомных термов, не прибегая к новым предположениям или каким-
либо приближениям (см. § 10). Дирак использовал матрицы Паули sh при
составлении релятивистского волнового уравнения первого порядка (см.
§11). Волновое уравнение Дирака содержит матрицы и похоже на уравнение
Паули, а не на старое релятивистское волновое уравнение. Переход от
однокомпонентной волновой функции к двухкомпонентной ф более радикален,
чем переход от двух компонент к четырем; переход от векторной алгебры к
двузначным представлениям группы вращения совершить много труднее, чем
расширить группу вращений до группы Лоренца. Во всяком случае, именно
Паулц сделал первый решительный шаг, и в этом отношении в его работе нет
ничего временного или приближенного.
§ 9. ТЕОРЕТИКО-ГРУППОВОЙ ВЫВОД СООТНОШЕНИЙ КОММУТАЦИИ
J.von Neumann, TJber die analytischen Eigen-schaften von Gruppen linearer
Transjormationen und ihrer Darstellungen (И. Нейман, Об аналитических
свойствах групп линейных преобразований и их представлений), Math. Zs.,
30, 3 (поступило в редакцию в феврале 1927 г.).
J. von Neumann, Е. Wigner, Zur Erkldrung einiger Eigenschaften der
Spekiren aus der Quantenmechanik des Drehelektrons (И. Нейман,
E. Вигнер, К объяснению некоторых свойств спектров на основании квантовой
механики вращающегося электрона), Zs.f. Phys., 47, 203 (поступило в
редакцию в декабре 1927 г.).
В. L. van der Waerden, Stetigkeitssatze fiir halbeinfache Liesche Gruppen
(Б. Ван дер Варден, Теоремы непрерывностп для полупростых групп Ли),
Math. Zs., 36, 780 (поступило в редакцию в мае 1932 г.).
Теория Паули основана на соотношениях коммутации
sxSy - sysx = 2isz и т. д. , (1)
введенных по аналогии с соответствующими соотношениями для операторов
орбитального момента количества движения кх, к у, к2*
Принцип запрета и спин
259
При помощи теории представлений групп Ли можно показать, что нет
необходимости предполагать заранее соотношения (1). Их можно вывести из
более фундаментального положения об инвариантности теории относительно
пространственных вращений.
Основная идея этого вывода принадлежит Нейману и Вигнеру. Ниже я буду
предполагать несколько меньше и докажу несколько больше, чем упомянутые
авторы. Они молчаливо предполагали непрерывность представлений группы
вращений, что не является необходимым. С другой стороны, они не вводили
понятия момента количества движения, тогда как я собираюсь показать, что
электрон обладает моментом количества движения, удовлетворяющим
соотношениям (1).
Мы рассмотрим один электрон в некоторой ортогональной системе координат
и, подобно Паули, предположим, что его состояние описывается парой
функций (ф1?ф2) в пространстве координат х, г/, z. Приводимое ниже
доказательство годится также для произвольного числа частиц N и
произвольного числа п функций фь...,фп.
Если состояние электрона подвергнуть определенному пространственному
вращению R (или, что сводится к тому же, не затрагивать состояние, а
подвергнуть вращению JB"1 систему координат), то новое состояние
электрона будет описываться другой парой функций (ф', ф').
Вероятность обнаружить электрон в малом объеме dV вблизи
точки Р равна ^ {ф*ф1 (Р) + Ф* ^{P)}dV. Если при вращении R точка Р
переходит в Р', a dV- в dV', то вероятность обнаружить электрон после
преобразования в dV' равна вероятности пребывания электрона до
преобразования в dV. Поскольку объем dV равен dV\ можно написать
(Р>) + ^2*^2 (Р>) = (Р) + ^2*^2 (Р)- (2)
Разумно предположить, следуя Паули, что ф' (Р') и фа(Р') являются
линейными функциями ф 1(Р) и ф2 (Р) с коэффициентами, зависящими только
от вращения R:
Ф1 (Р ) - ^ll^l (Р) i" ^12^2 0^)'
Фа (Р') = *21^1 (Р) + *22^2 (^)-
Используя матрицы ф' и ф, состоящие из одного столбца и двух строчек,
можно записать уравнения (3) в матричной
17*
260
Б. Ван дер Варден
форме
Ч>' (Р') = тъ(Р),
(4)
где T=T(R) зависит только от вращения R. В силу соотношения (2), матрица
Т должна быть унитарной.
Если Q=eia - комплексное число, по модулю равное единице, то функции ф' и
рф' определяют одно и то же состояние, откуда следует, что матрицу Т
можно умножить на произвольную постоянную Q=eia. Набор всех матриц рТпри
р, пробегающем единичный круг в комплексной плоскости, можно назвать
проективным унитарным преобразованием Трг. Если произвести
последовательно два пространственных вращения R и 8, то получится новое
вращение RS. Очевидно,
Следовательно, проективные упитарные преобразования Трг образуют
