Небесная механика - Смарт У.М.
Скачать (прямая ссылка):
5000 массам неизвестной планеты, а в качестве ех — величину, равную 20
эксцентриситетам неизвестной планеты (введя, конечно, необходимую
численную компенсацию). Примечательно то, что и Леверье поступил
аналогичным образом и относительно тх: он принял за тх величину, равную
10 000 массам неизвестной планеты.
Четыре неизвестные величины, относящиеся к Нептуну, которые явно
фигурируют в выражении (1) для Р, суть: тх, ех, е, и <5^ Мы можем
записать Р следующим образом: з
Р = S (А/cos i(i\ + A,; Sin /Oj) +
-f /?, cos 02 -ь рг cos 0., -f /?з COS 04 + b Я\ sin 02 —|— (j2 sin 0з —Ь
sin 04, (2)
330
Глава 16. Открытие Нептуна
где
0J = (я — Я,) t, 6j = nxt, 03 = (я — 2nx) t,
04 = (2 я — Зя,) t. (3)
При этом все коэффициенты при t в формулах (3) являются извест-ными
величинами.
Пусть
0=е — 8ц (3 = е — ш, Pi = e — a>j. (4)
Тогда из сравнения выражений (1) и (2) имеем
hx = mxux sin 0, Л1 = /я1«1соэ0,
h2 = mxtt2s\n2b. k2 — /n,a2cos26. ^
Кроме того,
h3 — mxua sin 30 + mxexux0 s!n (30 —p — Pj) =
= mxu3 sin 30 + mieiuw fsln (39 — Pi)cos P + cos (39 — Pi) sin p],
p3 = mxu3 sin (30 — P) + fnxexu9 sin (30 — Pj) (6)
и
q3 = mxu3 cos (30 — P) + cos (30 — Pj). (7)
Поэтому, исключая pt из выражения для h3 посредством формул (6)
и (7), мы после некоторых упрощений Получим
h3 = mx (и3— Цац“10') sin 30+ (р3 cos р + q3 sin р)
или
h3 = mxvx sin 30 + v2p3 + v3q3, (8)
где коэффициенты vx, v2, v3 имеют вполне определенные числовые
значения, причем р определяется по элементам Бувара. Точно так же
находим, что
k3 = mxvx cos 30 — (v3p3 — г>2?з),
px — mxwx sin (0 — P) + w2 (p3 cos 20 — q3 sin 20),
qx = — mxwx cos (0 — P)—w2 (p3 sin 20 + q3 cos 20),
p2 = mxzx sin (20 — P) + ar2 (p3 cos 0 —> q3 sin 0), (9)
q2 = mxzx cos (20 — P) + ar2 (p3 sin 0 + q3 cos 0),
где все величины v, w и z известны.
Таким образом, первоначальные неизвестные величины mx, ех, Sj, й, теперь
заменены величинами тх, 0, р3, q3, так как, согласно фор*
мулам (5), hx, hv kv k2 являются простыми функциями тх и 0,
а h3,
k3, рх, qv р2, q2 формулами (8) и (9) связаны с тх, 0, р3, q3.
§ 16.08. Решение условных уравнений
331
§ 16.07. Условные уравнения
Условное уравнение, если заменить nt на 0', записывается в виде
с = Де -|- Дл*! cos O' + Дх2 cos 20' —|— / Дл —|— Ду, sin 0' -f--f Ду2
sin 20' -f- A, cos 0, + h2cos 20, -f- A3cos 30, + ft, sin 0, —j— ft2 sin
20, —j— ft3sin 30, —j— p, cos 024~
4- Pi cos 03 4- p3 cos 04 4- qx sin 0.2 + q2 sin 03 -j- q3 sin 04. (1)
В качестве начального момента Адамс выбрал среднее противостояние Урана
1810 г., т. е. 1810,328. За единицу времени он взял промежуток, равный
трем синодическим периодам обращения Урана, т. е. 3,0302 года. Эго,
конечно, требует перевода в эти единицы постоянной тяготения О, которая
входит в различные числовые коэффициенты и,, и2, ... возмущающей функции.
Если а/а, = 0,515, а п, а, выражены в новой единице времени, то найдено,
что
0' = 13°О'-6/, 0, = 8° 12' • 1/, 02 = 4° 48' ? 5/,
03 = 3° 23' • 6/, 04 = 11° 35' • 7/.
.Новые" наблюдения были разбиты па группы, дающие средние
места для моментов времени 1810,328 ± /, где / = 0, 1.............. 10,
а соответствующие значения величины с, определяемой формулой (1),
выводятся из значений I, получаемых из таблиц Бувара. Адамс, таким
образом, составил 21 условное уравнение, основанное на .новых"
наблюдениях1), начиная с 1780 по 1840 г.
Что касается .старых" наблюдений, то они дают 9 условных уравнений.
§ 16.08. Решение условных уравнений
Заметим прежде всего, что в уравнении (1) § 16.07 величины Дх2 и Ду2 не
являются независимыми неизвестными. Они связаны с величинами Дх, и Ду,
формулами (13) и (14) § 16.03
Дх2 = т, Дх, + Та Ду,, Ду2 = — тг2 Дх, 4- т, Ду,.
где 7, и f2 — величины, числовые значения которых известны.
Адамс решает уравнения (1) § 16.07 для .новых" наблюдений следующим
образом.
Каждое из 21 уравнения он умножает на коэффициент при Дх, и складывает
подобно тому, как это делается при составлении нормальных уравнений. Эту
процедуру он повторяет для Де, Дл, Ду,;
?) Среднее наблюдение для противостояния 1780 г. выводилось по
наблюдениям, которые были выполнены как до, так и после открытия Урана,
и, строго говоря, является лишь отчасти .новым* наблюдением.
332
Глава 16. Открытие Нептуна
А,, Ар А2, А2, й3. А3; р2, q2, р3, q2, используя при этом следующие легко
выводимые равенства:
, 21 с
V sin ~2~
lcos^=—?-г-.
sinT5
0 V * s И sin Ю;— 10 sin 11;
1 7,rsin;r=--------------i---------,
^ sin’i-5
sin (; — ij) sin Щ- (5 -f- 1l)
2 V cos \t cos r(t =---j---------\------=--------,
sin J (i — T,) Sin -g- (i + T,)
Ssin^(5 —i)) sin-^-(j-H)
sin U sin rjt — j------------------------- ,
sin j — sin g-(5 + i))
2Е“8*«=2‘+т1г-
в которых суммирование распространяется на следующие значения /:
—10, —9...........—1, 0, 1, 2. ... 10.
Кроме того, суммы всех комбинаций вида 2C0S^ sinn;/ и 2*C0S^ равны нулю.
При помощи этого приема 21 условное уравнение было приведено к 14
