Небесная механика - Смарт У.М.
Скачать (прямая ссылка):
где Ыпа означает члены третьего порядка относительно т и т. д.
Так как п — р'Ьа-*1*, то, ограничиваясь только членами второго порядка
относительно т, получим
п = р1/» [с0-|- Д'с + Д(9)
Поэтому можно написать
я = яу -f Д'я -j- Ы’п. (10)
Глава 6. О решении уравнений Лагранжа
Разлагая правую часть формулы (9) в ряд и ограничиваясь членами порядка
т2, можно найти
«о “Р'ЧЛ
(ю
\tf Г 15 (й'а\2 3 A'fll
Дя-Яо^^—j —2—J- (11)
Точно так же имеем Из равенства
следует, что
р = РоН-д'рН-Д"р.
? — j ndt
Ро = f n0dt = п^,
А'р = J bJndt, (12)
Д"р = J Wndt.
где Д'я, Д"я даются формулами (11) и (110.
§ 6.05. Свойства возмущений первого порядка
Исследование настоящего параграфа мы проведем на примере уравнения для 2.
Его решение, согласно формуле (4) § 6.03, имеет вид
2 = 20-f-X/-f-п. ч., (1)
где X— постоянная, определяемая формулой
X — тхА ^ -gr- c°s 0О, (2)
причем я, а, ... рассматриваются как постоянные, равные л0, а0.....
а периодический член в общем случае имеет вид
Т^гЛЛаЬ- (3>
Формула (1) содержит члены трех типов, которые мы сейчас и рассмотрим
более подробно.
1) Вековые члены.
Член U называется вековым членом. Если, например, коэффициент X
положителен, то долгота узла (поскольку рассматривается
§ 6.05. Свойства возмущений первого порядка
119
этот элемент) будет увеличиваться с постоянной угловой скоростью X, где-
). — малая величина порядка mv Если X отрицательно, то долгота узла будет
уменьшаться с постоянной скоростью X. Аналогичные замечания можно сделать
относительно каждого из остальных элементов, исключая а, который не имеет
векового члена. Следствие из этого последнего результата имеет важное
значение. Так как в первом приближении решение дается в виде а = а0-(-п.
ч., то большая полуось колеблется с малой амплитудой около среднего знд-
чения а0. Если бы имелся вековой член, скажем Xt, и если предположить на
время, что решение является точным, то большая полуось прогрессивно
увеличивалась бы или уменьшалась в зависимости от того, положительно или
отрицательно X. В первом случае а стремилось бы к бесконечности, т. е.
планета вышла бы из-под влияния Солнца. Во втором случае а уменьшалось бы
до такого размера, что планета в конце концов была бы поглощена Солнцем
(если бы она предварительно не испарилась). Отсутствие такого векового
члена обеспечивает общую устойчивость планетных орбит (если только наше
предположение справедливо), так как возмущения большой полуоси приведут
только к ее колебаниям с малой амплитудой около среднего значения а0. Из
этого также следует, что в первом приближении среднее движение я не имеет
векового члена.
2) Короткопериодические неравенства.
Рассмотрим какое-либо слагаемое в сумме периодических членов формулы (1).
Согласно формуле (3), мы можем его записать в виде
и D имеет определенный порядок относительно е, ev 4 и Y,. Для простоты
предположим, что эти элементы имеют один н тот же порядок малости, так
что D может рассматриваться как величина порядка ер, где р —
положительное число. Тогда, если in-\-ixnx не является малой величиной,
то амплитуда члена (4) будет иметь порядок лг,ер. Предполагая, что это
условие имеет силу для некоторой пары значений I и мы назовем
соответствующий ей член короткопериодическим неравенством ’).
Происхождение этого названия связано с тем фактом, что период такого
члена является
(4)
где
я — & + Vi И-№Ч- Л-i+k®+^i(oi
') .Неравенство* является архаическим термином, означающим отклонение от
эллиптического движения, и эквивалентным в данном случае понятию
.возмущение* рассматриваемого элемента.
120
Глава 6. О решении уравнений Лагранжа
малым — самое большее равным периоду планеты Р или планеты Я,. Пусть V
означает период члена (4). Тогда
т> _
/л + /,л, '
Так как п = 2к/Т и я, — 2я/Г,, то
ТГ=Т^~Т^'
Например, если под Р понимается Юпитер, под Я, — Сатурн, то
приблизительно Т = 11,86 и Тх = 29,46, причем в качестве единицы времени
взят 1 год. Из соотношения (5) мы имеем:
/= 1. /, = 1. Т'= 8,46,
/=1, /, = -1. Г = 19,85.
1 = 2, /, = 1. Г= 4,94.
Амплитуды таких членов равны m, DT/2тс, и соответствующие возмущения по
своему характеру ничем не будут примечательны, если упомянутые ранее
условия имеют силу.
3) Долгопериодические неравенства.
Это возмущения, периодические по своему характеру. Их наличие
обусловлено, в некоторых случаях, приблизительной соизмеримостью средних
угловых движений я и я,. Если я/я, приблизительно равно /,//, где I и /,
— некоторые целые числа, то In — /,я, будет малой величиной, а амплитуды
соответствующих периодических членов станут при прочих равных условиях
много больше, чем в случае, рассмотренном в п. 2.
При более точных значениях орбитальных периодов Юпитера и Сатурна
находим, что
я = 299", 13, я, = 120",45.
так что, если 1= — 2 и /, = 5, то
/я + /,я, = 3",99.
Если через Т" обозначить период соответствующего неравенства, то мы
найдем, что Т" приблизительно равно 75 орбитальным периодам Юпитера, что
